Cho hàm số bậc bốn $f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau: Số điểm cực trị của hàm số $g\left(x \right)={{x}^{4}}{{\left[ f\left( x-1...

Ta có: $f\left( x \right)=4{{x}^{4}}-8{{x}^{2}}+3\Rightarrow f'\left( x \right)=16x\left( {{x}^{2}}-1 \right)$
Ta có $g'\left( x \right)=2{{x}^{3}}.f\left( x-1 \right).\left[ 2f\left( x-1 \right)+x.f'\left( x-1 \right) \right]$
$g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{3}}=0 \\
& f\left( x-1 \right)=0 \\
& 2f\left( x-1 \right)+x.f'\left( x-1 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\begin{matrix}
\left( 1 \right) \\
\left( 2 \right) \\
\left( 3 \right) \\
\end{matrix}$
Phương trình $\left( 1 \right)$ có $x=0$ (nghiệm bội ba).
Phương trình $\left( 2 \right)$ có cùng số nghiệm với phương trình $f\left( x \right)=0$ nên $\left( 2 \right)$ có 4 nghiệm đơn.
Phương trình $\left( 3 \right)$ có cùng số nghiệm với phương trình:
$2.f\left( x \right)+\left( x+1 \right).f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 2\left( 4{{x}^{4}}-8{{x}^{2}}+3 \right)+16x\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-1 \right)=0$
$\Leftrightarrow 24{{x}^{4}}+16{{x}^{3}}-32{{x}^{2}}-16x+6=0$ có 4 nghiệm phân biệt.
Dễ thấy 9 nghiệm trên phân biệt nên hàm số $g\left( x \right)=0$ có tất cả 9 điểm cực trị.