Cho hàm số bậc bốn $f\left(x\right)$ có bảng biến thiên như sau: Số điểm cực trị của hàm số $g\left(x \right)={{x}^{4}}{{\left[ f\left( x-1...

Ta có: $f\left(x\right)=4x^4-8x^2+3\Rightarrow f^{\prime }\left(x\right)=16x(x^2-1)$
Ta có $g^{\prime }\left(x\right)=2x^3.f(x-1).[2f(x-1)+x.f^{\prime }(x-1)]$
$g^{\prime }\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{rl}& x^3=0\\ & f(x-1)=0\\ & 2f(x-1)+x.f^{\prime }(x-1)=0\end{array}\begin{array}{c}\left(1\right)\\ \left(2\right)\\ \left(3\right)\end{array}$
Phương trình $\left(1\right)$ có $x=0$ (nghiệm bội ba).
Phương trình $\left(2\right)$ có cùng số nghiệm với phương trình $f\left(x\right)=0$ nên $\left(2\right)$ có 4 nghiệm đơn.
Phương trình $\left(3\right)$ có cùng số nghiệm với phương trình:
$2.f\left(x\right)+(x+1).f^{\prime }\left(x\right)=0\iff 2(4x^4-8x^2+3)+16x(x+1)(x^2-1)=0$
$\iff 24x^4+16x^3-32x^2-16x+6=0$ có 4 nghiệm phân biệt.
Dễ thấy 9 nghiệm trên phân biệt nên hàm số $g\left(x\right)=0$ có tất cả 9 điểm cực trị.