Google
Câu hỏi: Cho hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)=m{{x}^{3}}+n{{x}^{2}}+\dfrac{1}{3}x+q$ có đồ thị $\left( C \right)$ và cắt đường thẳng $d:y=g\left( x \right)$ như hình vẽ. Biết $AB=5$, tổng tất cả các nghiệm của phương trình $f\left( x \right)-g\left( x \right)-3{{x}^{2}}=2$ là
A. $4.$
B. $2.$
C. $5.$
D. $3.$
B. $2.$
C. $5.$
D. $3.$
Đường thẳng $d$ qua gốc toạ độ và có hướng đi lên nên có dạng $d:y=kx \left( k>0 \right)$, khi đó $A\left( -1;-k \right), B\left( 2;2k \right)$. Ta có $AB=5\Leftrightarrow 9+9{{k}^{2}}=25\Rightarrow k=\dfrac{4}{3}$. Vậy $d:y=\dfrac{4}{3}x$.
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ và $d$ là $f\left( x \right)-g\left( x \right)=0\Leftrightarrow m{{x}^{3}}+n{{x}^{2}}-x+q=0$.
Phương trình này có các nghiệm $x\in \left\{ -1;1;2 \right\}$ nên $m{{x}^{3}}+n{{x}^{2}}-x+q=m\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)$. Hay $m{{x}^{3}}+n{{x}^{2}}-x+q=m{{x}^{3}}-2m{{x}^{2}}-mx+2m$, từ đây suy ra $\left\{ \begin{matrix}
m=1 \\
n=-2 \\
q=2 \\
\end{matrix} \right.$.
Vậy $y=f\left( x \right)={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+\dfrac{1}{3}x+2$. Khi đó ta có
$f\left( x \right)-g\left( x \right)-3{{x}^{2}}=2\Leftrightarrow {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-x+2-3{{x}^{2}}-2=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}-5{{x}^{2}}-x=0\Leftrightarrow x\left( {{x}^{2}}-5x-1 \right)=0.$
Phương trình cuối có $3$ nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm $x=0$ và tổng 2 nghiệm còn lại là $5$ nên có tổng $3$ nghiệm là $5$.
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ và $d$ là $f\left( x \right)-g\left( x \right)=0\Leftrightarrow m{{x}^{3}}+n{{x}^{2}}-x+q=0$.
Phương trình này có các nghiệm $x\in \left\{ -1;1;2 \right\}$ nên $m{{x}^{3}}+n{{x}^{2}}-x+q=m\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)$. Hay $m{{x}^{3}}+n{{x}^{2}}-x+q=m{{x}^{3}}-2m{{x}^{2}}-mx+2m$, từ đây suy ra $\left\{ \begin{matrix}
m=1 \\
n=-2 \\
q=2 \\
\end{matrix} \right.$.
Vậy $y=f\left( x \right)={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+\dfrac{1}{3}x+2$. Khi đó ta có
$f\left( x \right)-g\left( x \right)-3{{x}^{2}}=2\Leftrightarrow {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-x+2-3{{x}^{2}}-2=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}-5{{x}^{2}}-x=0\Leftrightarrow x\left( {{x}^{2}}-5x-1 \right)=0.$
Phương trình cuối có $3$ nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm $x=0$ và tổng 2 nghiệm còn lại là $5$ nên có tổng $3$ nghiệm là $5$.
Đáp án C.