Cho hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ Tìm...

 Xét hàm số $g\left( x \right)={{x}^{2}}-4x+2\sqrt{4x-{{x}^{2}}}$ :
TXĐ: $\left[ 0 ; 4 \right]$
${g}'\left( x \right)=2x-4+\dfrac{2\left( 2-x \right)}{\sqrt{4x-{{x}^{2}}}}=2\left( x-2 \right)\dfrac{\sqrt{4x-{{x}^{2}}}-1}{\sqrt{4x-{{x}^{2}}}}, \forall x\in \left( 0 ; 4 \right)$ ;
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2 \\
& \sqrt{4x-{{x}^{2}}}=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2 \\
& x=2\pm \sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.$
 $y={{f}^{2}}\left( g\left( x \right) \right)$ $\Rightarrow {y}'=2f\left( g\left( x \right) \right).{g}'\left( x \right){f}'\left( g\left( x \right) \right)$ ;
${y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( g\left( x \right) \right)=0 \left( 1 \right) \\
& {g}'\left( x \right)=0 \left( 2 \right) \\
& {f}'\left( g\left( x \right) \right)=0 \left( 3 \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& g\left( x \right)=a \left( 4 \right) \\
& g\left( x \right)=b \left( 5 \right) \\
& g\left( x \right)=1 \left( 6 \right) \\
\end{aligned} \right. \left( 0<a<b<1 \right)$
$\left( 3 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& g\left( x \right)=c \left( 7 \right) \\
& g\left( x \right)=d \left( 8 \right) \\
\end{aligned} \right.\left( 0<a<c<b<d<1 \right)$
 Mỗi phương trình $\left( 4 \right), \left( 5 \right), \left( 7 \right), \left( 8 \right)$ có 4 nghiệm phân biệt
 Phương trình $\left( 6 \right)$ có nghiệm kép $x=1$
 Phương trình $\left( 2 \right)$ có 3 nghiệm phân biệt
Tất cả các nghiệm của các phương trình $\left( 2 \right), \left( 4 \right), \left( 5 \right), \left( 7 \right), \left( 8 \right)$ là phân biệt và ${y}'$ đổi dấu qua các nghiệm đó.
${y}'$ không đổi dấu qua $x=1$.
Vậy hàm số đã cho có 19 điểm cực trị.