Cho hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ Gọi...

Xét hàm số $y=f\left( {{\left( x-1 \right)}^{2}}+m \right)$, ta có
$\begin{aligned}
& \bullet {y}'=2\left( x-1 \right){f}'\left( {{\left( x-1 \right)}^{2}}+m \right) \\
& \bullet {y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& {{\left( x-1 \right)}^{2}}+m=-1 \\
& {{\left( x-1 \right)}^{2}}+m=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& {{\left( x-1 \right)}^{2}}=-1-m \\
& {{\left( x-1 \right)}^{2}}=3-m \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
Xét hàm số $g\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{2}}$, ta có
$\begin{aligned}
& \bullet {g}'\left( x \right)=2\left( x-1 \right) \\
& \bullet {g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=1 \\
\end{aligned}$
Để hàm số có $3$ điểm cực trị thì $-1-m\le 0<3-m\Leftrightarrow -1\le m<3\Rightarrow m\in \left\{ -1 ; 0 ; 1 ;2 \right\}$
Vậy tổng các phần tử của $S$ là $2$.