Cho hàm số bậc ba $y=f\left(x\right)$ có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in [-5;5]$ để phương trình...

Phương pháp:
- Đặt ẩn phụ $t={\log }_2(f\left(x\right)+1),$ tìm điều kiện của $t$.
- Đưa phương trình đã cho về dạng phương trình bậc ba ẩn $t.$
- Tiếp tục đưa phương trình bậc ba về dạng tích. Giải phương trình và tìm điều kiện để phương trình có nghiệm $t$ thỏa mãn điều kiện ở trên
- Kết hợp điều kiện đề bài và đếm số giá trị của $m$ thỏa mãn.
Cách giải:
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Với $x\in (-1;1)$ thì $f\left(x\right)\in (-1;3)\Rightarrow f\left(x\right)+1>0\mathrm{\forall }x\in (-1;1).$
Ta có:
${\log }_3^2(f\left(x\right)+1)-{\log }_{\sqrt{2}}^2(f\left(x\right)+1)+(2m-8){\log }_{{\displaystyle \frac{1}{2}}}\sqrt{f\left(x\right)+1}+2m=0$
$\iff {\log }_3^2(f\left(x\right)+1)-4{\log }_2^2(f\left(x\right)+1)-{\displaystyle \frac{1}{2}}(2m-8){\log }_2(f\left(x\right)+1)+2m=0$
Đặt $t={\log }_2(f\left(x\right)+1),$ vì $f\left(x\right)+1\in (0;4)$ nên $t\in (-\mathrm{\infty };2).$ Phương trình trở thành:
$t^3-4t^2-(m-4)t+2m=0$
$\iff (t-2)(t^2-2t-m)=0$
$\iff [\begin{array}{rl}& t=2\left(ktm\right)\\ & t^2-2t=m\end{array}$
Để phương trình ban đầu có nghiệm $x\in (-1;1)$ thì phương trình $t^2-2t=m$ có nghiệm trên khoảng $(-\mathrm{\infty };2).$
Ta có bảng biến thiên hàm số $t^2-2t$ trên $(-\mathrm{\infty };2)$ như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình $t^2-2t=m$ có nghiệm trên khoảng $(-\mathrm{\infty };2)$ khi và chỉ khi $m\ge -1.$
Kết hợp điều kiện đề bài $\Rightarrow m\in [-1;5].$ Vậy có 7 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu.