Google
Câu hỏi: Cho hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -5;5 \right]$ để phương trình $\log _{3}^{3}\left( f\left( x \right)+1 \right)-\log _{\sqrt{2}}^{2}\left( f\left( x \right)+1 \right)+\left( 2m-8 \right){{\log }_{\dfrac{1}{2}}}\sqrt{f\left( x \right)+1}+2m=0$ có nghiệm $x\in \left( -1;1 \right)$
A. 7
B. 5
C. Vô số
D. 6
A. 7
B. 5
C. Vô số
D. 6
Phương pháp:
- Đặt ẩn phụ $t={{\log }_{2}}\left( f\left( x \right)+1 \right),$ tìm điều kiện của $t$.
- Đưa phương trình đã cho về dạng phương trình bậc ba ẩn $t.$
- Tiếp tục đưa phương trình bậc ba về dạng tích. Giải phương trình và tìm điều kiện để phương trình có nghiệm $t$ thỏa mãn điều kiện ở trên
- Kết hợp điều kiện đề bài và đếm số giá trị của $m$ thỏa mãn.
Cách giải:
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Với $x\in \left( -1;1 \right)$ thì $f\left( x \right)\in \left( -1;3 \right)\Rightarrow f\left( x \right)+1>0\forall x\in \left( -1;1 \right).$
Ta có:
$\log _{3}^{2}\left( f\left( x \right)+1 \right)-\log _{\sqrt{2}}^{2}\left( f\left( x \right)+1 \right)+\left( 2m-8 \right){{\log }_{\dfrac{1}{2}}}\sqrt{f\left( x \right)+1}+2m=0$
$\Leftrightarrow \log _{3}^{2}\left( f\left( x \right)+1 \right)-4\log _{2}^{2}\left( f\left( x \right)+1 \right)-\dfrac{1}{2}\left( 2m-8 \right){{\log }_{2}}\left( f\left( x \right)+1 \right)+2m=0$
Đặt $t={{\log }_{2}}\left( f\left( x \right)+1 \right),$ vì $f\left( x \right)+1\in \left( 0;4 \right)$ nên $t\in \left( -\infty ;2 \right).$ Phương trình trở thành:
${{t}^{3}}-4{{t}^{2}}-\left( m-4 \right)t+2m=0$
$\Leftrightarrow \left( t-2 \right)\left( {{t}^{2}}-2t-m \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=2\left( ktm \right) \\
& {{t}^{2}}-2t=m \\
\end{aligned} \right.$
Để phương trình ban đầu có nghiệm $x\in \left( -1;1 \right)$ thì phương trình ${{t}^{2}}-2t=m$ có nghiệm trên khoảng $\left( -\infty ;2 \right).$
Ta có bảng biến thiên hàm số ${{t}^{2}}-2t$ trên $\left( -\infty ;2 \right)$ như sau:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình ${{t}^{2}}-2t=m$ có nghiệm trên khoảng $\left( -\infty ;2 \right)$ khi và chỉ khi $m\ge -1.$
Kết hợp điều kiện đề bài $\Rightarrow m\in \left[ -1;5 \right].$ Vậy có 7 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu.
- Đặt ẩn phụ $t={{\log }_{2}}\left( f\left( x \right)+1 \right),$ tìm điều kiện của $t$.
- Đưa phương trình đã cho về dạng phương trình bậc ba ẩn $t.$
- Tiếp tục đưa phương trình bậc ba về dạng tích. Giải phương trình và tìm điều kiện để phương trình có nghiệm $t$ thỏa mãn điều kiện ở trên
- Kết hợp điều kiện đề bài và đếm số giá trị của $m$ thỏa mãn.
Cách giải:
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Với $x\in \left( -1;1 \right)$ thì $f\left( x \right)\in \left( -1;3 \right)\Rightarrow f\left( x \right)+1>0\forall x\in \left( -1;1 \right).$
Ta có:
$\log _{3}^{2}\left( f\left( x \right)+1 \right)-\log _{\sqrt{2}}^{2}\left( f\left( x \right)+1 \right)+\left( 2m-8 \right){{\log }_{\dfrac{1}{2}}}\sqrt{f\left( x \right)+1}+2m=0$
$\Leftrightarrow \log _{3}^{2}\left( f\left( x \right)+1 \right)-4\log _{2}^{2}\left( f\left( x \right)+1 \right)-\dfrac{1}{2}\left( 2m-8 \right){{\log }_{2}}\left( f\left( x \right)+1 \right)+2m=0$
Đặt $t={{\log }_{2}}\left( f\left( x \right)+1 \right),$ vì $f\left( x \right)+1\in \left( 0;4 \right)$ nên $t\in \left( -\infty ;2 \right).$ Phương trình trở thành:
${{t}^{3}}-4{{t}^{2}}-\left( m-4 \right)t+2m=0$
$\Leftrightarrow \left( t-2 \right)\left( {{t}^{2}}-2t-m \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=2\left( ktm \right) \\
& {{t}^{2}}-2t=m \\
\end{aligned} \right.$
Để phương trình ban đầu có nghiệm $x\in \left( -1;1 \right)$ thì phương trình ${{t}^{2}}-2t=m$ có nghiệm trên khoảng $\left( -\infty ;2 \right).$
Ta có bảng biến thiên hàm số ${{t}^{2}}-2t$ trên $\left( -\infty ;2 \right)$ như sau:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình ${{t}^{2}}-2t=m$ có nghiệm trên khoảng $\left( -\infty ;2 \right)$ khi và chỉ khi $m\ge -1.$
Kết hợp điều kiện đề bài $\Rightarrow m\in \left[ -1;5 \right].$ Vậy có 7 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu.
Đáp án A.