Google
Câu hỏi: Cho hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên.
Số nghiệm thực của phương trình $\left| f\left( {{x}^{3}}-3x \right) \right|=\dfrac{4}{3}$ là
A. $3$.
B. $8$.
C. $7$.
D. $4$.
A. $3$.
B. $8$.
C. $7$.
D. $4$.
Xét phương trình: $\left| f\left( {{x}^{3}}-3x \right) \right|=\dfrac{4}{3}$ $\left( 1 \right)$. Đặt $t={{x}^{3}}-3x$, ta có: ${t}'=3{{x}^{2}}-3$ ; ${t}'=0\Leftrightarrow x=\pm 1$.
Bảng biến thiên:
Phương trình $\left( 1 \right)$ trở thành $\left| f\left( t \right) \right|=\dfrac{4}{3}$ với $t\in \mathbb{R}$.
Từ đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ ban đầu, ta suy ra đồ thị hàm số $y=\left| f\left( t \right) \right|$ như sau:
Suy ra phương trình $\left| f\left( t \right) \right|=\dfrac{4}{3}$ có các nghiệm ${{t}_{1}}<-2<{{t}_{2}}<{{t}_{3}}<2<{{t}_{4}}$.
Từ bảng biến thiên ban đầu ta có:
${{x}^{3}}-3x={{t}_{1}}$ có 1 nghiệm ${{x}_{1}}$.
${{x}^{3}}-3x={{t}_{4}}$ có 1 nghiệm ${{x}_{2}}$.
${{x}^{3}}-3x={{t}_{2}}$ có 3 nghiệm ${{x}_{3}} , {{x}_{3}} , {{x}_{5}}$.
${{x}^{3}}-3x={{t}_{3}}$ có 3 nghiệm ${{x}_{6}} , {{x}_{7}} , {{x}_{8}}$.
Vậy phương trình $\left| f\left( {{x}^{3}}-3x \right) \right|=\dfrac{4}{3}$ có 8 nghiệm.
Cách khác : Có thể giải bài toán bằng phương pháp ghép trục cũng rất nhanh gọn.
Bảng biến thiên:
Từ đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ ban đầu, ta suy ra đồ thị hàm số $y=\left| f\left( t \right) \right|$ như sau:
Từ bảng biến thiên ban đầu ta có:
${{x}^{3}}-3x={{t}_{1}}$ có 1 nghiệm ${{x}_{1}}$.
${{x}^{3}}-3x={{t}_{4}}$ có 1 nghiệm ${{x}_{2}}$.
${{x}^{3}}-3x={{t}_{2}}$ có 3 nghiệm ${{x}_{3}} , {{x}_{3}} , {{x}_{5}}$.
${{x}^{3}}-3x={{t}_{3}}$ có 3 nghiệm ${{x}_{6}} , {{x}_{7}} , {{x}_{8}}$.
Vậy phương trình $\left| f\left( {{x}^{3}}-3x \right) \right|=\dfrac{4}{3}$ có 8 nghiệm.
Cách khác : Có thể giải bài toán bằng phương pháp ghép trục cũng rất nhanh gọn.
Đáp án B.