Cho hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên...

Đặt $h\left( x \right)={{f}^{2}}\left( x \right)-2f\left( x \right)-m\Rightarrow {h}'\left( x \right)=2{f}'\left( x \right)\left[ f\left( x \right)-1 \right]$
Khi đó ${h}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)=0 \\
& f\left( x \right)=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=-1 \\
& x=a\in \left( -2;-1 \right) \\
& x=b\in \left( 0;1 \right) \\
& x=c>1 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có bảng biến thiên
Ta có $h\left( x \right)$ có 5 điểm cực trị. Vậy để thoả mãn thì $h\left( x \right)=0$ có bốn nghiệm đơn hoặc bội lẻ hay $-m\le 0<8-m\Leftrightarrow 0\le m<8$. Do $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ 0;1;2;3;4;5;6;7 \right\}$.