Cho hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình $\left| f\left( {{x}^{3}}-3x \right) \right|=1$ là

Xét phương trình $\left| f\left( {{x}^{3}}-3x \right) \right|=1$ (1)
Đặt $t={{x}^{3}}-3x$, ta có bảng biến thiên của hàm số $t=g\left( x \right)={{x}^{3}}-3x$ như sau:

Từ bảng biến thiên, ta thấy
+ Với mỗi ${{t}_{0}}>2$ hoặc ${{t}_{0}}<-2$, phương trình ${{t}_{0}}={{x}^{3}}-3x$ có một nghiệm;
+ Với mỗi $-2<{{t}_{0}}<2$, phương trình ${{t}_{0}}={{x}^{3}}-3x$ có 3 nghiệm.
Khi đó, (1) trở thành $\left| f\left( t \right) \right|=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( t \right)=1 \\
& f\left( t \right)=-1 \\
\end{aligned} \right.$
* TH 1: $f\left( t \right)=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t={{t}_{1}}\in \left( -2;0 \right) \\
& t={{t}_{2}}\in \left( 0;2 \right) \\
& t={{t}_{3}}\in \left( 2;+\infty \right) \\
\end{aligned} \right.$
+ Với $t={{t}_{1}}\in \left( -2;0 \right)\Rightarrow $ Phương trình ${{t}_{1}}={{x}^{3}}-3x$ có 3 nghiệm;
+ Với $t={{t}_{2}}\in \left( 0;2 \right)\Rightarrow $ Phương trình ${{t}_{2}}={{x}^{3}}-3x$ có 3 nghiệm;
+ Với $t={{t}_{3}}\in \left( 2;+\infty \right)\Rightarrow $ Phương trình ${{t}_{3}}={{x}^{3}}-3x$ có 1 nghiệm;
* TH 2: $f\left( t \right)=-1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t={{t}_{4}}\in \left( -\infty ;-2 \right) \\
& t={{t}_{5}}\in \left( 2;+\infty \right) \\
\end{aligned} \right.$
+ Với $t={{t}_{4}}\in \left( -\infty ;-2 \right)\Rightarrow $ Phương trình ${{t}_{4}}={{x}^{3}}-3x$ có 1 nghiệm;
+ Với $t={{t}_{5}}\in \left( 2;+\infty \right)\Rightarrow $ Phương trình ${{t}_{5}}={{x}^{3}}-3x$ có 1 nghiệm.
Mặt khác, các nghiệm này đều phân biệt. Vậy phương trình $\left| f\left( {{x}^{3}}-3x \right) \right|=1$ có 9 nghiệm phân biệt.