Cho hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$ có đồ thị là đường cong ở...

Nhận thấy hình phẳng trên có diện tích không đổi khi ta tịnh tiến đồ thị sang trái sao cho ${{x}_{0}}=0$ Khi đó ta có ${{x}_{1}}=1,{{x}_{2}}=3,$ Xét hàm $f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ và $g(x)=m{{x}^{2}}+nx+p$.
Vì ${{x}_{1}}=1,{{x}_{2}}=3,$ là các điểm cực trị nên ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {f}'(1)=0 \\
& {f}'(3)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3a+2b+c=0 \\
& 27a+6b+c=0 \\
\end{aligned} \right.(1)$
Hơn nữa, ta có $f(1)=3f(3)\Leftrightarrow a+b+c+d=27a+9b+3c+d.(2)$
Từ (1) và(2) suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& b=-6a \\
& c=9a \\
& d=2a \\
\end{aligned} \right.$
Mặt khác dựa vào đồ thị ta thấy: $\left\{ \begin{aligned}
& g(0)=f(0) \\
& g(1)=3g(3) \\
& g(0)-g(3) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& p=2a \\
& m=-2a \\
& n=-3a \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $f(x)=a({{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+2)$, $g(x)=a(-2{{x}^{2}}+6x+2)$
Khi đó ta có: ${{S}_{1}}=\left| a \right|\int\limits_{0}^{1}{\left| {{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+3x \right|}dx=\dfrac{5}{12}\left| a \right|$ ${{S}_{2}}=\left| a \right|\int\limits_{1}^{3}{\left| {{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+3x \right|}dx=\dfrac{8}{3}\left| a \right|$
Do đó, $\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\dfrac{5}{32}$