Cho hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau...

Xét hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-2x+m+1 \right)$ có ${y}'=\left( 2x-2 \right){f}'\left( {{x}^{2}}-2x+m+1 \right)$.
${y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& {f}'\left( {{x}^{2}}-2x+m+1 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& {{x}^{2}}-2x+m+1=-1 \\
& {{x}^{2}}-2x+m+1=3 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& -{{x}^{2}}+2x-2=m \\
& -{{x}^{2}}+2x+2=m \\
\end{aligned} \right.$.
Vẽ đồ thị hai hàm số $y=g\left( x \right)=-{{x}^{2}}+2x-2$ và $y=h\left( x \right)=-{{x}^{2}}+2x+2$.
Để hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-2x+m+1 \right)$ có $3$ điểm cực trị thì đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hai hàm số trên tại hai điểm phân biệt khác 1 hoặc 3 điểm phân biệt trong đó có một điểm có hoành độ bằng $x=1$ $\Leftrightarrow -1\le m<3$.
Vì $m$ nguyên nên $m\in \left\{ -1, 0 , 1 , 2 \right\}$.