Google
Câu hỏi: Cho hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ có đồ thị là $\left( C \right)$. Biết hàm số $g\left( x \right)=xf\left( x \right)-\dfrac{a{{x}^{4}}}{2}-\dfrac{b{{x}^{3}}}{3}+dx+2025$ có ba điểm cực trị là $x_0 ;\left(x_0+2\right) ;\left(x_0+3\right)$. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left( C \right)$ và trục hoành $Ox$ bằng $6$. Giá trị của $\left| a \right|$ nằm trong khoảng nào sau đây ?
A. $\left( 0 ; \dfrac{1}{2} \right)$.
B. $\left( \dfrac{1}{2};1 \right)$.
C. $\left( 1 ; \dfrac{3}{2} \right)$
D. $\left( \dfrac{3}{2} ; 2 \right)$.
A. $\left( 0 ; \dfrac{1}{2} \right)$.
B. $\left( \dfrac{1}{2};1 \right)$.
C. $\left( 1 ; \dfrac{3}{2} \right)$
D. $\left( \dfrac{3}{2} ; 2 \right)$.
Ta có: $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\Rightarrow g\left( x \right)=x\left( a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d \right)-\dfrac{a{{x}^{4}}}{2}-\dfrac{b{{x}^{3}}}{3}+dx+2025$
$\Rightarrow {g}'\left( x \right)=4a{{x}^{3}}+3b{{x}^{2}}+2cx+d-3-2a{{x}^{3}}-b{{x}^{2}}+d=2a{{x}^{3}}+2b{{x}^{2}}+2cx+2d=2f\left( x \right)$.
Ta thấy phương trình $g\left( x \right)$ có ba điểm cực trị nên suy ra phương trình $g'\left( x \right)=0$ có ba nghiệm phân biệt là $x_0 ;\left(x_0+2\right) ;\left(x_0+3\right)$ và ba nghiệm phân biệt này cũng là ba nghiệm của phương trình $f\left( x \right)=0$ $\Rightarrow f\left( x \right)=a\left( x-{{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}}-2 \right)\left( x-{{x}_{0}}-3 \right)$.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left( C \right)$ và trục hoành là :
$\Rightarrow {g}'\left( x \right)=4a{{x}^{3}}+3b{{x}^{2}}+2cx+d-3-2a{{x}^{3}}-b{{x}^{2}}+d=2a{{x}^{3}}+2b{{x}^{2}}+2cx+2d=2f\left( x \right)$.
Ta thấy phương trình $g\left( x \right)$ có ba điểm cực trị nên suy ra phương trình $g'\left( x \right)=0$ có ba nghiệm phân biệt là $x_0 ;\left(x_0+2\right) ;\left(x_0+3\right)$ và ba nghiệm phân biệt này cũng là ba nghiệm của phương trình $f\left( x \right)=0$ $\Rightarrow f\left( x \right)=a\left( x-{{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}}-2 \right)\left( x-{{x}_{0}}-3 \right)$.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left( C \right)$ và trục hoành là :
$S=\int\limits_{{{x}_{0}}}^{{{x}_{0}}+3}{\left| a\left( x-{{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}}-2 \right)\left( x-{{x}_{0}}-3 \right) \right|}dx=6$
Đặt $t=x-{{x}_{0}}\Rightarrow S=\int\limits_{0}^{3}{\left| a \right|}\left| t\left( t-2 \right)\left( t-3 \right) \right|dt=6\Leftrightarrow \left| a \right|.\int\limits_{0}^{3}{\left| t\left( t-2 \right)\left( t-3 \right) \right|dt=6\Rightarrow }\left| a \right|\approx 1,94$.Đáp án D.