Google
Câu hỏi: Cho hàm số bậc ba $f\left( x \right)$ có đồ thị hàm số như hình vẽ bên. Biết hàm số $f\left( x \right)$ đạt cực trị tại hai điểm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{2}}={{x}_{1}}+2$ và $f\left( {{x}_{1}} \right)+f\left( {{x}_{2}} \right)=1.$ Gọi ${{S}_{1}},{{S}_{2}}$ là diện tích của hai hình phẳng được cho trong hình vẽ bên. Tính tỉ số $\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}.$
A. $\dfrac{5}{4}$
B. $\dfrac{3}{5}$
C. $\dfrac{3}{8}$
D. $\dfrac{5}{8}$
A. $\dfrac{5}{4}$
B. $\dfrac{3}{5}$
C. $\dfrac{3}{8}$
D. $\dfrac{5}{8}$
Cách giải:
Tịnh tiến đồ thị sang bên trái sao cho điểm uốn trùng với gốc tọa độ thì $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}=-{{x}_{2}} \\
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}=-1 \\
& {{x}_{2}}=1 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow f'\left( x \right)=3a\left( {{x}^{2}}-1 \right)\Rightarrow f\left( x \right)=a{{x}^{3}}-3ax+C$
Mà $f\left( 0 \right)=0\Rightarrow f\left( x \right)=a{{x}^{3}}-3ax\Rightarrow f\left( -1 \right)=2a$
Khi đó ${{S}_{2}}=\int\limits_{-1}^{0}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{-1}^{0}{\left( a{{x}^{3}}-3ax \right)dx}=\dfrac{5}{4}a$
Ta có: ${{S}_{1}}={{S}_{OABC}}-{{S}_{2}}=2a.1-\dfrac{5}{4}a=\dfrac{3}{4}a$
Vậy $\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\dfrac{3}{5}.$
Tịnh tiến đồ thị sang bên trái sao cho điểm uốn trùng với gốc tọa độ thì $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}=-{{x}_{2}} \\
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}=-1 \\
& {{x}_{2}}=1 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow f'\left( x \right)=3a\left( {{x}^{2}}-1 \right)\Rightarrow f\left( x \right)=a{{x}^{3}}-3ax+C$
Mà $f\left( 0 \right)=0\Rightarrow f\left( x \right)=a{{x}^{3}}-3ax\Rightarrow f\left( -1 \right)=2a$
Khi đó ${{S}_{2}}=\int\limits_{-1}^{0}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{-1}^{0}{\left( a{{x}^{3}}-3ax \right)dx}=\dfrac{5}{4}a$
Ta có: ${{S}_{1}}={{S}_{OABC}}-{{S}_{2}}=2a.1-\dfrac{5}{4}a=\dfrac{3}{4}a$
Vậy $\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\dfrac{3}{5}.$
Đáp án B.