Google
Câu hỏi: Cho hàm số bậc ba ${f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d}$. Biết hàm số có cực đại và cực tiểu. Gọi ${A}$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số, tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại ${A}$ cắt đồ thị tại điểm ${B}$ và ${AB = 6}$. Tính ${\left| {{x_{CD}} - {x_{CT}}} \right|}$
A. ${2}$.
B. ${3}$.
C. ${4}$.
D. ${6}$
A. ${2}$.
B. ${3}$.
C. ${4}$.
D. ${6}$
$y'=3a{{x}^{2}}+2bx+c.$
Do hàm số có cực đại và cực tiểu nên bỏ ${{b}^{2}}-3ac>0$ hơn nữa tâm đối xứng của đồ thị hàm số là
$I\left( -\dfrac{b}{3a};y\left( -\dfrac{b}{3a} \right) \right)$
$A\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số nên tiếp tuyến tại A là $y={{y}_{0}}$
$B\left( {{x}_{B}},{{y}_{0}} \right)$ là giao điểm của tiếp tuyến tại A với đồ thị hàm số nên ${{x}_{B}}=\left( -\dfrac{b}{a} \right)-2{{x}_{0}}$
Ta lại có $AB=6\Leftrightarrow \left| {{x}_{B}}-{{x}_{0}} \right|=6\Leftrightarrow \left| \dfrac{b}{a}+3{{x}_{0}} \right|=6$
$A\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)$ là điểm cực đại suy ra tọa độ điểm cực tiểu là $C\left( -\dfrac{2b}{3a}-{{x}_{0}};2y\left( -\dfrac{b}{3a} \right)-{{y}_{0}} \right)$ ( do I là tâm đối xứng )
Vậy $\left| {{x}_{CD}}-{{x}_{CT}} \right|=\left| {{x}_{0}}+\dfrac{2b}{3a}+{{x}_{0}} \right|=2\left| {{x}_{0}}+\dfrac{b}{3a} \right|=\dfrac{2}{3}\left| 3{{x}_{0}}+\dfrac{b}{a} \right|=4$
Do hàm số có cực đại và cực tiểu nên bỏ ${{b}^{2}}-3ac>0$ hơn nữa tâm đối xứng của đồ thị hàm số là
$I\left( -\dfrac{b}{3a};y\left( -\dfrac{b}{3a} \right) \right)$
$A\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số nên tiếp tuyến tại A là $y={{y}_{0}}$
$B\left( {{x}_{B}},{{y}_{0}} \right)$ là giao điểm của tiếp tuyến tại A với đồ thị hàm số nên ${{x}_{B}}=\left( -\dfrac{b}{a} \right)-2{{x}_{0}}$
Ta lại có $AB=6\Leftrightarrow \left| {{x}_{B}}-{{x}_{0}} \right|=6\Leftrightarrow \left| \dfrac{b}{a}+3{{x}_{0}} \right|=6$
$A\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)$ là điểm cực đại suy ra tọa độ điểm cực tiểu là $C\left( -\dfrac{2b}{3a}-{{x}_{0}};2y\left( -\dfrac{b}{3a} \right)-{{y}_{0}} \right)$ ( do I là tâm đối xứng )
Vậy $\left| {{x}_{CD}}-{{x}_{CT}} \right|=\left| {{x}_{0}}+\dfrac{2b}{3a}+{{x}_{0}} \right|=2\left| {{x}_{0}}+\dfrac{b}{3a} \right|=\dfrac{2}{3}\left| 3{{x}_{0}}+\dfrac{b}{a} \right|=4$
Đáp án C.