Cho hàm số bậc 4 có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ và $m\in \left[ -2021;2021 \right]$ để phương trình $\log...

Từ đồ thị hàm số, ta có $y=f\left( x \right)$ có 3 điểm cực trị là $-1,0,1$ nên hàm số có dạng
$f'\left( x \right)=ax\left( {{x}^{2}}-1 \right)\Rightarrow f\left( x \right)=\dfrac{a}{4}{{x}^{4}}-\dfrac{a}{2}{{x}^{2}}+b$ và đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ đi qua hai điểm $\left( 0;4 \right),\left( 1;3 \right)$ nên $f\left( x \right)={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+4\ge 3,\forall x.$
Điều kiện $\dfrac{f\left( x \right)}{m{{x}^{2}}}>0$ suy ra $m>0.$
Ta có
$\log \left( \dfrac{f\left( x \right)}{m{{x}^{2}}} \right)+x\left( f\left( x \right)-mx \right)=m{{x}^{3}}-f\left( x \right)\Leftrightarrow \log f\left( x \right)+x.f\left( x \right)+f\left( x \right)=\log \left( m{{x}^{2}} \right)+x.m{{x}^{2}}+m{{x}^{2}}$
$\Leftrightarrow \log \left( x+1 \right)f\left( x \right)+x.f\left( x \right)+f\left( x \right)=\log \left( \left( x+1 \right)m{{x}^{2}} \right)+x.m{{x}^{2}}+m{{x}^{2}}$ do $x+1>0\left( * \right)$
Xét hàm số $g\left( t \right)=\log t+t$ với $t>0.$ Ta có $g'\left( t \right)=\dfrac{1}{t.\ln 10}+1>0.$
Từ $\left( * \right)$ ta có $\left( x+1 \right)f\left( x \right)=\left( x+1 \right)m{{x}^{2}}\Leftrightarrow m=\dfrac{f\left( x \right)}{{{x}^{2}}}=\dfrac{{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+4}{{{x}^{2}}}={{\left( x+\dfrac{2}{x} \right)}^{2}}-6.$
Đặt $u=x+\dfrac{2}{x}\ge 2\sqrt{2},$ khi đó $m={{u}^{2}}-6,\forall u\ge 2\sqrt{2}.$
Dễ thấy với mỗi giá trị của $u$ cho ta hai giá trị của $x>0,$ nên yêu cầu bài toán đưa về điều kiện là tìm $m$ để phương trình $m={{u}^{2}}-6$ có đúng một nghiệm $u>2\sqrt{2}.$ Đặt $h\left( u \right)={{u}^{2}}-6$ với $u>2\sqrt{2}.$

Do $m\in \mathbb{Z},m\in \left[ -2021;2021 \right],m>2$ nên có 2019 giá trị thỏa mãn.