Cho hàm đa thức $y=f(x)$. Hàm số $y=f^{\prime }(x)$ có đồ thị như hình vẽ sau Có bao nhiêu giá trị của $m\in [0;6];2m\in \mathbb{Z}$ để...

Cách 1:
Ta có:
$g(x)=f(|x-1{|}^2-2|x-1|+m-1)$
Đặt $t=x-1\Rightarrow g(t)=f(|t{|}^2-2|t|+m-1)$
Xét $g_1(t)=f(t^2-2t+m-1)$
$\begin{array}{rl}& \Rightarrow g_1^{{}^{\prime }}(t)=f^{\prime }(t^2-2t+m-1)\\ & \Rightarrow g_1^{{}^{\prime }}(t)=0\iff [\begin{array}{rl}& t=1\\ & f^{\prime }(t^2-2t+m-1)=0\end{array}\end{array}$
g(x) có 9 cực trị khi g(t) có 9 cực trị.
$\iff g_1(t)$ có 4 cực trị dương.
$g_1^{{}^{\prime }}(t)=0\iff [\begin{array}{rl}& t=1\\ & t^2-2t+m-1=1\\ & t^2-2t+m-1=0\\ & t^2-2t+m-1=2\\ & t^2-2t+m-1=3\end{array}$
$g_1(t)$ có 4 cực trị dương khi: $[\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{rl}& m-2\ge 1\\ & 0<m-3<1\\ & m-4\le 0\end{array}\\ & m-2\le 0\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& 3<m<4\\ & m\le 2\end{array}$.
Mà $m\in [0,6],2m\in \mathbb{Z}$ $\Rightarrow m=\{0,{\displaystyle \frac{1}{2}},1,{\displaystyle \frac{3}{2}},2,{\displaystyle \frac{7}{2}}\}$
Vậy có 6giá trị của m thỏa mãn đề bài
Cách 2: Dùng ghép trục
Đặt $t(x)=x^2-2x-2|x-1|+m$
=>$t(x)=\{\begin{array}{rl}& x^2+m-2\text{ khi x1}\\ & {\text{x}}^2-4x+2+m\text{ khi x}\ge \text{1}\end{array}$
$\Rightarrow t^{\prime }(x)=\{\begin{array}{rl}& \text{2x khi x1}\\ & 2x-4\text{ khi x1}\end{array}$, $t^{\prime }(x)$ không xác định tại x=1
$t^{\prime }(x)=0\iff [\begin{array}{rl}& x=0\\ & x=2\end{array}$
Ta có bảng biến thiên sau:

Ta xét các trường hợp sau, sử dụng phương pháp ghép trục:
TH1: $m-1<1\iff m<2$
Ta có bảng biến thiên sau:

=> Hàm số có 9 cực trị => thỏa mãn
TH2: $m=2$
Ta có bảng biến thiên sau:

=> Hàm số có 9 cực trị => thỏa mãn
TH3: $2<m<3\iff 0<m-2<1<m-1<2$
Ta có bảng biến thiên sau:

=> Hàm số có 11 cực trị => không thỏa mãn
TH4: $m=3$
Ta có bảng biến thiên sau:

=> Hàm số có 7 cực trị => không thỏa mãn
TH5: $3<m<4\iff 1<m-2<2<m-1<3$
Ta có bảng biến thiên sau:

=> Hàm số có 11 cực trị => không thỏa mãn
TH6: $m=4$
Ta có bảng biến thiên sau:

=> Hàm số có 5 cực trị => không thỏa mãn
TH7: $m>4,m<5\iff 2<m-2<3<m-1$
Ta có bảng biến thiên sau:

=> Hàm số có 9 cực trị => thỏa mãn
TH8: $m=5$. Tương tự => Không thỏa mãn
TH9: $m>5\iff 3<m-2<m-1$. Tương tự => Không thỏa mãn
Kết hợp các trường hợp ta được:
$\{\begin{array}{rl}& m<2\\ & m=2\\ & 4<m<5\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& m\le 2\\ & 4<m<5\end{array}$
Mà $2m\in \mathbb{Z}$ và $0\le m\le 6$ $\Rightarrow m=\{0,{\displaystyle \frac{1}{2}},1,{\displaystyle \frac{3}{2}},2,{\displaystyle \frac{9}{2}})$
Vậy có 6 giá trị của m thỏa mãn.