Cho hàm đa thức $y=f(x)$. Hàm số $y=f'(x)$ có đồ thị như hình vẽ sau Có bao nhiêu giá trị của $m\in \left[ 0; 6 \right]; 2m\in \mathbb{Z}$ để...

Cách 1:
Ta có:
$g(x)=f(|x-1{{|}^{2}}-2|x-1|+m-1)$
Đặt $t=x-1\Rightarrow g(t)=f(|t{{|}^{2}}-2|t|+m-1)$
Xét ${{g}_{1}}(t)=f({{t}^{2}}-2t+m-1)$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow g_{1}^{'}(t)=f'({{t}^{2}}-2t+m-1) \\
& \Rightarrow g_{1}^{'}(t)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=1 \\
& f'({{t}^{2}}-2t+m-1)=0 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
g(x) có 9 cực trị khi g(t) có 9 cực trị.
$\Leftrightarrow {{g}_{1}}(t)$ có 4 cực trị dương.
$g_{1}^{'}(t)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=1 \\
& {{t}^{2}}-2t+m-1=1 \\
& {{t}^{2}}-2t+m-1=0 \\
& {{t}^{2}}-2t+m-1=2 \\
& {{t}^{2}}-2t+m-1=3 \\
\end{aligned} \right.$
${{g}_{1}}(t)$ có 4 cực trị dương khi: $\left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& m-2\ge 1 \\
& 0<m-3<1 \\
& m-4\le 0 \\
\end{aligned} \right. \\
& m-2\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 3<m<4 \\
& m\le 2 \\
\end{aligned} \right.$.
Mà $m\in \!\![\!\!0,6],2m\in \mathbb{Z}$ $\Rightarrow m=\!\!\{\!\!0,\dfrac{1}{2},1,\dfrac{3}{2},2,\dfrac{7}{2}\!\!\}\!\!$
Vậy có 6giá trị của m thỏa mãn đề bài
Cách 2: Dùng ghép trục
Đặt $t(x)={{x}^{2}}-2x-2|x-1|+m$
=>$t(x)=\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+m-2\text{ khi x1} \\
& {{\text{x}}^{2}}-4x+2+m\text{ khi x}\ge \text{1} \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow t'(x)=\left\{ \begin{aligned}
& \text{2x khi x1} \\
& 2x-4\text{ khi x1} \\
\end{aligned} \right. $, $ t'(x)$ không xác định tại x=1
$t'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có bảng biến thiên sau:

Ta xét các trường hợp sau, sử dụng phương pháp ghép trục:
TH1: $m-1<1\Leftrightarrow m<2$
Ta có bảng biến thiên sau:

=> Hàm số có 9 cực trị => thỏa mãn
TH2: $m=2$
Ta có bảng biến thiên sau:

=> Hàm số có 9 cực trị => thỏa mãn
TH3: $2<m<3\Leftrightarrow 0<m-2<1<m-1<2$
Ta có bảng biến thiên sau:

=> Hàm số có 11 cực trị => không thỏa mãn
TH4: $m=3$
Ta có bảng biến thiên sau:

=> Hàm số có 7 cực trị => không thỏa mãn
TH5: $3<m<4\Leftrightarrow 1<m-2<2<m-1<3$
Ta có bảng biến thiên sau:

=> Hàm số có 11 cực trị => không thỏa mãn
TH6: $m=4$
Ta có bảng biến thiên sau:

=> Hàm số có 5 cực trị => không thỏa mãn
TH7: $m>4,m<5\Leftrightarrow 2<m-2<3<m-1$
Ta có bảng biến thiên sau:

=> Hàm số có 9 cực trị => thỏa mãn
TH8: $m=5$. Tương tự => Không thỏa mãn
TH9: $m>5\Leftrightarrow 3<m-2<m-1$. Tương tự => Không thỏa mãn
Kết hợp các trường hợp ta được:
$\left\{ \begin{aligned}
& m<2 \\
& m=2 \\
& 4<m<5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\le 2 \\
& 4<m<5 \\
\end{aligned} \right.$
Mà $2m\in \mathbb{Z}$ và $0\le m\le 6$ $\Rightarrow m=\left\{ 0,\dfrac{1}{2},1,\dfrac{3}{2},2,\dfrac{9}{2}) \right.$
Vậy có 6 giá trị của m thỏa mãn.