Cho hàm đa thức $y=f\left( x \right)$, biết hàm số $y={f}'\left( x...

$h(x)=f({{x}^{6}})-{{x}^{3}}\Rightarrow h'(x)=6{{x}^{5}}{f}'({{x}^{6}})-3{{x}^{2}}=3{{x}^{2}}\left( 2{{x}^{3}}f'({{x}^{6}})-1 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}=0 \\
& 2{{x}^{3}}f'({{x}^{6}})-1=0 \\
\end{aligned} \right.$
Đặt: $u(x)=2{{x}^{3}}f'({{x}^{6}})-1$ $\Rightarrow u'(x)=6{{x}^{2}}f'({{x}^{6}})+12{{x}^{8}}f''({{x}^{6}})\ge 0$, $\forall x\in \mathbb{R}$
(Từ đồ thị ta có ${{x}^{6}}\ge 0$ $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f'({{x}^{6}})>0 \\
& f''({{x}^{6}})>0 \\
\end{aligned} \right. $ do đó $ \left\{ \begin{aligned}
& 6{{x}^{2}}f'({{x}^{6}})\ge 0 \\
& 12{{x}^{8}}f''({{x}^{6}})\ge 0 \\
\end{aligned} \right. $, $ \forall x\in \mathbb{R}$)
Nên $u(x)=2{{x}^{3}}f'({{x}^{6}})-1$ đồng biến và liên tục trên $\mathbb{R}$ (do $f(x)$ là hàm đa thức $\Rightarrow u(x)$ là hàm đa thức) và $\left\{ \begin{aligned}
& \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} u(x)=-\infty \\
& \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} u(x)=+\infty \\
\end{aligned} \right. $ suy ra phương trình $ u(x)=2{{x}^{3}}f'({{x}^{6}})-1=0$ có nghiệm duy nhất.
Giả sử $2{{x}^{3}}f'({{x}^{6}})-1=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}f'({{x}^{6}})=\dfrac{1}{2}$ có nghiệm là ${{x}_{0}}$ (do $f'(x_{0}^{6})>0$ ) $\Rightarrow x_{0}^{3}>0$ $\Rightarrow {{x}_{0}}>0$.
Ta có bảng biến thiên sau:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số $g(x)=\left| h(x) \right|$ có 1 điểm cực đại.