Cho hàm đa thức bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ được...

Giả sử $f^{\prime }\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ trong đó $a\ne 0$ có đồ thị $\left(C\right)$.
Hàm số $y=f^{\prime }(x)$ đạt cực trị tại $x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}=0$ suy ra $b=0$.
$(0;1)\in \left(C\right)$ suy ra $c=1$.
$(1;4)\in \left(C\right)$ suy ra $a=3$.
Do đó $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2+1$.
Vậy $f\left(3\right)-f\left(2\right)=\underset{2}{\overset{3}{\int }}(3x^2+1)\text{d}x=20$.
Gọi $I$ là trung điểm của $O{O}^{\prime }$, mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $I$ cắt hai đường tròn đáy lần lượt theo hai dây cung $AB=A^{\prime }{B}^{\prime }$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB.$
Góc giữa $O{O}^{\prime }$ và $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ là $\widehat{MIO}={30}^0$.
$MO=IO.\tan {30}^0={\displaystyle \frac{7\sqrt{3}}{3}}$
$\Rightarrow AB=2.MB={\displaystyle \frac{14\sqrt{6}}{3}}.$