Google
Câu hỏi: Cho hàm bậc ba $f\left( x \right)$ có đồ thị hàm số như hình vẽ bên.
Biết hàm số $f\left( x \right)$ đạt cực trị tại hai điểm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{2}}={{x}_{1}}+2$ và $f\left( {{x}_{1}} \right)+f\left( {{x}_{2}} \right)=2$. Gọi ${{S}_{1}},{{S}_{2}}$ là diện tích của hai hình phẳng được cho trong hình vẽ bên. Tính tỉ số $\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}$
A. $\dfrac{5}{4}$.
B. $\dfrac{3}{5}$.
C. $\dfrac{3}{8}$.
D. $\dfrac{5}{8}$
A. $\dfrac{5}{4}$.
B. $\dfrac{3}{5}$.
C. $\dfrac{3}{8}$.
D. $\dfrac{5}{8}$
Do $f\left( x \right)$ đạt cực trị tại hai điểm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$
$\Rightarrow {f}'\left( x \right)=3a\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)=3a\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{1}}-2 \right)=3a{{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{2}}-6a\left( x-{{x}_{1}} \right), \left( a>0 \right)$
$\Rightarrow f\left( x \right)=a{{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{3}}-3a{{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+C$.
Ta có: $f\left( {{x}_{1}} \right)=C$, $f\left( {{x}_{2}} \right)=-4a+C$ và $f\left( {{x}_{1}} \right)+f\left( {{x}_{2}} \right)=2$ $\Rightarrow C=2a+1$
$\Rightarrow f\left( x \right)=a{{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{3}}-3a{{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+2a+1$.
Ta có: ${{S}_{2}}=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{1}}+1}{\left| f\left( x \right)-1 \right|\text{d}x}=a\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{1}}+1}{\left[ {{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{3}}-3{{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+2 \right]\text{d}x}=a\int\limits_{0}^{1}{\left( {{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+2 \right)\text{d}t}=\dfrac{5a}{4}$
Do tính chất đối xứng qua điểm uốn của hàm bậc ba nên ta có được:
$\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\dfrac{\left( f\left( {{x}_{1}} \right)-1 \right)-{{S}_{2}}}{{{S}_{2}}}=\dfrac{2a}{\dfrac{5a}{4}}-1=\dfrac{3}{5}$.
$\Rightarrow {f}'\left( x \right)=3a\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)=3a\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{1}}-2 \right)=3a{{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{2}}-6a\left( x-{{x}_{1}} \right), \left( a>0 \right)$
$\Rightarrow f\left( x \right)=a{{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{3}}-3a{{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+C$.
Ta có: $f\left( {{x}_{1}} \right)=C$, $f\left( {{x}_{2}} \right)=-4a+C$ và $f\left( {{x}_{1}} \right)+f\left( {{x}_{2}} \right)=2$ $\Rightarrow C=2a+1$
$\Rightarrow f\left( x \right)=a{{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{3}}-3a{{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+2a+1$.
Ta có: ${{S}_{2}}=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{1}}+1}{\left| f\left( x \right)-1 \right|\text{d}x}=a\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{1}}+1}{\left[ {{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{3}}-3{{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+2 \right]\text{d}x}=a\int\limits_{0}^{1}{\left( {{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+2 \right)\text{d}t}=\dfrac{5a}{4}$
Do tính chất đối xứng qua điểm uốn của hàm bậc ba nên ta có được:
$\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\dfrac{\left( f\left( {{x}_{1}} \right)-1 \right)-{{S}_{2}}}{{{S}_{2}}}=\dfrac{2a}{\dfrac{5a}{4}}-1=\dfrac{3}{5}$.
Đáp án B.