Cho hai số thực $x, y$ với $x > 0$ thỏa mãn...

The Collectors · 13/3/22

Câu hỏi: Cho hai số thực

x, y

với

x > 0

thỏa mãn

2^{x + \frac{1}{4 x}} + \log_{2} \frac{1}{3 - 2 y - y^{2}} = 0

. Giá trị của

S = x + y^{2021}

bằng
A.

\frac{3}{2}

.
B.

\frac{- 3}{2}

.
C.

\frac{- 1}{2}

.
D.

0

.

Ta có:

2^{x + \frac{1}{4 x}} + \log_{2} \frac{1}{3 - 2 y - y^{2}} = 0 \Leftrightarrow 2^{x + \frac{1}{4 x}} = - \log_{2} \frac{1}{3 - 2 y - y^{2}}

;

\Leftrightarrow 2^{x + \frac{1}{4 x}} = \log_{2} (3 - 2 y - y^{2}) = 0 \Leftrightarrow 2^{x + \frac{1}{4 x}} = \log_{2} (4 - {(1 + y)}^{2})

;
Ta có:

V T = 2^{x + \frac{1}{4 x}} \geq 2^{2 \sqrt{x . \frac{1}{4 x}}} = 2

(Theo bất đẳng thức cô - si)

V P = \log_{2} (4 - {(1 + y)}^{2}) \leq \log_{2} 4 = 2

.
Dấu bằng xảy ra khi

{\begin{aligned} x = \frac{1}{4 x} \\ 1 + y = 0 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} x = \frac{1}{2} (x > 0) \\ y = - 1 \end{aligned}

. Giá trị của

S = x + y^{2021} = \frac{1}{2} + (- 1) = \frac{- 1}{2}

.

Đáp án C.

Cho hai số thực x,y với x>0 thỏa mãn...