Google
Câu hỏi: Cho hai số thực $x, y$ với $x>0$ thỏa mãn ${{2}^{x+\dfrac{1}{4x}}}+{{\log }_{2}}\dfrac{1}{3-2y-{{y}^{2}}}=0$. Giá trị của $S=x+{{y}^{2021}}$ bằng
A. $\dfrac{3}{2}$.
B. $\dfrac{-3}{2}$.
C. $\dfrac{-1}{2}$.
D. $0$.
A. $\dfrac{3}{2}$.
B. $\dfrac{-3}{2}$.
C. $\dfrac{-1}{2}$.
D. $0$.
Ta có:
${{2}^{x+\dfrac{1}{4x}}}+{{\log }_{2}}\dfrac{1}{3-2y-{{y}^{2}}}=0\Leftrightarrow {{2}^{x+\dfrac{1}{4x}}}=-{{\log }_{2}}\dfrac{1}{3-2y-{{y}^{2}}}$ ;
$\Leftrightarrow {{2}^{x+\dfrac{1}{4x}}}={{\log }_{2}}\left( 3-2y-{{y}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow {{2}^{x+\dfrac{1}{4x}}}={{\log }_{2}}\left( 4-{{\left( 1+y \right)}^{2}} \right)$ ;
Ta có:
$VT={{2}^{x+\dfrac{1}{4x}}}\ge {{2}^{2\sqrt{x.\dfrac{1}{4x}}}}=2$ (Theo bất đẳng thức cô - si)
$VP={{\log }_{2}}\left( 4-{{\left( 1+y \right)}^{2}} \right)\le {{\log }_{2}}4=2$.
Dấu bằng xảy ra khi $\left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{1}{4x} \\
& 1+y=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{1}{2}\left( x>0 \right) \\
& y=-1 \\
\end{aligned} \right. $. Giá trị của $ S=x+{{y}^{2021}}=\dfrac{1}{2}+\left( -1 \right)=\dfrac{-1}{2}$.
${{2}^{x+\dfrac{1}{4x}}}+{{\log }_{2}}\dfrac{1}{3-2y-{{y}^{2}}}=0\Leftrightarrow {{2}^{x+\dfrac{1}{4x}}}=-{{\log }_{2}}\dfrac{1}{3-2y-{{y}^{2}}}$ ;
$\Leftrightarrow {{2}^{x+\dfrac{1}{4x}}}={{\log }_{2}}\left( 3-2y-{{y}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow {{2}^{x+\dfrac{1}{4x}}}={{\log }_{2}}\left( 4-{{\left( 1+y \right)}^{2}} \right)$ ;
Ta có:
$VT={{2}^{x+\dfrac{1}{4x}}}\ge {{2}^{2\sqrt{x.\dfrac{1}{4x}}}}=2$ (Theo bất đẳng thức cô - si)
$VP={{\log }_{2}}\left( 4-{{\left( 1+y \right)}^{2}} \right)\le {{\log }_{2}}4=2$.
Dấu bằng xảy ra khi $\left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{1}{4x} \\
& 1+y=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{1}{2}\left( x>0 \right) \\
& y=-1 \\
\end{aligned} \right. $. Giá trị của $ S=x+{{y}^{2021}}=\dfrac{1}{2}+\left( -1 \right)=\dfrac{-1}{2}$.
Đáp án C.