Cho hai số thực $x,y$ thỏa mãn ${{e}^{2}}x-{{e}^{x}}=-\ln x+y-2,\left( x>0 \right)$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\dfrac{y}{x}$ bằng

Phương pháp:
- Tìm hàm đặc trưng.
- Biểu diễn $y$ theo $x.$ - S? D? Ng phuong pháp hàm s? Tìm GTLN c? A $P.$
Cách giải:
Ta có
${{e}^{2}}x-{{e}^{y}}=-\ln 2+y-2\left( x>0 \right)$
$\Leftrightarrow {{e}^{2}}x+\ln x+2={{e}^{y}}+y$
$\Leftrightarrow {{e}^{2}}x+\ln x+\ln {{e}^{x}}={{e}^{y}}+y$
$\Leftrightarrow {{e}^{\ln \left( {{e}^{2}}x \right)}}+\ln \left( {{e}^{2}}x \right)={{e}^{y}}+y\left( * \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{e}^{t}}+t\Rightarrow f'\left( t \right)={{e}^{t}}+1>0\forall t$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}.$
Do đó $\left( * \right)\Leftrightarrow \ln \left( {{e}^{2}}x \right)=y\Rightarrow y=2+\ln x.$
Khi đó ta có: $P=\dfrac{y}{x}=\dfrac{2+\ln x}{x}=-\dfrac{2}{x}+\dfrac{\ln x}{x}$.
Ta có $P'=-\dfrac{2}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1-\ln x}{{{x}^{2}}}=0\Leftrightarrow \dfrac{-\ln x-1}{{{x}^{2}}}=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{e}\left( tm \right).$
Vậy ${{P}_{\max }}=P\left( \dfrac{1}{e} \right)=\dfrac{2-1}{\dfrac{1}{e}}=e.$