Cho hai số thực $x,y$ thay đổi thỏa mãn điều kiện ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2.$ Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số...

Ta có: $P=2\left( {{x}^{3}}+{{y}^{3}} \right)-3xy=2\left( x+y \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy \right)-3xy=2\left( x+y \right)\left( 2-xy \right)-3xy.$
Đặt $t=x+y\Rightarrow {{t}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2xy\Rightarrow {{t}^{2}}=2+2xy\Leftrightarrow \dfrac{{{t}^{2}}-2}{2}=xy.$
Do ${{\left( x+y \right)}^{2}}\ge 4xy\Leftrightarrow {{t}^{2}}\ge 2\left( {{t}^{2}}-2 \right)\Leftrightarrow {{t}^{2}}\le 4\Leftrightarrow -2\le t\le 2.$
Suy ra $P=2t\left( 2-\dfrac{{{t}^{2}}-2}{2} \right)-\dfrac{3\left( {{t}^{2}}-2 \right)}{2}=-{{t}^{3}}-\dfrac{3}{2}{{t}^{2}}+6t+3=f\left( t \right)$ với $t\in \left[ -2;2 \right].$
Khi đó: $f'\left( t \right)=-3{{t}^{2}}-3t+6;f'\left( t \right)=0\Leftrightarrow -3{{t}^{2}}-3t+6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=1 \\
& t=-2 \\
\end{aligned} \right..$
Suy ra $f(-2)=-7,f(1)=\dfrac{13}{2},f(2)=1\Rightarrow M=\dfrac{13}{2};m=-7\Rightarrow M+m=-\dfrac{1}{2}.$