Cho hai số thực $x$ và $y$ thỏa mãn $x-2y={{\log }_{3}}\left(...

+ Ta có $x-2y={{\log }_{3}}\left( {{\log }_{3}}5 \right)\Leftrightarrow x=2y+{{\log }_{3}}\left( {{\log }_{3}}5 \right)$
$\Rightarrow P={{3}^{x}}+\dfrac{1}{{{25}^{y}}}={{3}^{2y+{{\log }_{3}}\left( {{\log }_{3}}5 \right)}}+\dfrac{1}{{{25}^{y}}}=\left( {{\log }_{3}}5 \right){{.9}^{y}}+\dfrac{1}{{{25}^{y}}}$
Xét hàm số $f\left( y \right)=\left( {{\log }_{3}}5 \right){{.9}^{y}}+\dfrac{1}{{{25}^{y}}}$ trên tập $\mathbb{R}$
$f'\left( y \right)=\left( {{\log }_{3}}5 \right).\left( \ln 9 \right){{.9}^{y}}-\dfrac{\ln 25}{{{25}^{y}}}=2.\left( \ln 5 \right){{.9}^{y}}-\dfrac{2.\ln 5}{{{25}^{y}}}$
$\Rightarrow f'\left( y \right)=0\Leftrightarrow 2.\left( \ln 5 \right){{.9}^{y}}-\dfrac{2\ln 5}{{{25}^{y}}}=0\Leftrightarrow {{9}^{y}}-\dfrac{1}{{{25}^{y}}}=0\Leftrightarrow \dfrac{{{225}^{y}}-1}{{{25}^{y}}}=0\Leftrightarrow y=0$.
Bảng biến thiên$$
Từ bảng biến thiên suy ra $f\left( y \right)=\left( {{\log }_{3}}5 \right){{.9}^{y}}+\frac{1}{{{25}^{y}}}$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $1+{{\log }_{3}}5$ khi $y=0$ $\Rightarrow P={{3}^{x}}+\frac{1}{{{25}^{y}}}$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $1+{{\log }_{3}}5$ khi $x={{\log }_{3}}\left( {{\log }_{3}}5 \right);y=0$.
$\Rightarrow a=1;b=3;c=5\Rightarrow a+2b+3c=22$. Chọn A