Cho hai số thực dương $x, y$ thỏa mãn ${{\log }_{2}}x+x\left(x+y...

Phương pháp:
- Xét hàm đặc trưng, chứng minh hàm đặc trưng đơn điệu trên các khoảng xác định của chúng.
- Biểu diễn $y$ theo $x$ và thế vào biểu thức $T.$
- Khảo sát lập BBT hàm số $T\left(x \right)$ và kết luận.
Cách giải:
ĐKXĐ: $\left\{ \begin{aligned}
& x>0 \\
& 6-y>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>0 \\
& y<6 \\
\end{aligned} \right..$
Ta có:
${{\log }_{2}}x+x\left(x+y \right)={{\log }_{2}}\left(6-y \right)+6x$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x+{{x}^{2}}+xy={{\log }_{2}}\left(6-y \right)+6x$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow {{\log }_{2}}x+{{x}^{2}}={{\log }_{2}}\left(6-y \right)+6x-xy \\
& \Leftrightarrow {{\log }_{2}}x+{{x}^{2}}={{\log }_{2}}\left(6-y \right)+x\left(6-y \right) \\
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow 2{{\log }_{2}}x+{{x}^{2}}={{\log }_{2}}\left(6-y \right)+{{\log }_{2}}x+x\left(6-y \right) \\
& \Leftrightarrow {{\log }_{2}}{{x}^{2}}+{{x}^{2}}={{\log }_{2}}\left[ x\left(6-y \right) \right]+x\left(6-y \right) \\
\end{aligned}$
Xét hàm đặc trưng $f\left(t \right)={{\log }_{2}}t+t\left(t>0 \right)$ ta có $f'\left(t \right)=\dfrac{1}{t\ln 2}+1>0\forall t>0\Rightarrow $ Hàm số đồng biến trên $\left(0;+\infty \right).$
Do đó từ $f\left({{x}^{2}} \right)=f\left(x\left( 6-y \right) \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}=x\left(6-y \right)\Leftrightarrow x=6-y$ (Do $x>0)\Leftrightarrow y=6-x.$
Khi đó ta có $T={{x}^{3}}+3y={{x}^{3}}+3\left(6-x \right)={{x}^{3}}-3x+18$ với $x>0.$
Ta có $T'=3{{x}^{2}}-3=0\Leftrightarrow x=\pm 1.$
BBT:

Dựa vào BBT ta có ${{T}_{\min }}=T\left(1 \right)=16.$