Google
Câu hỏi: Cho hai số thực dương $x$, $y$ thỏa mãn $2+2{{\log }_{2}}x=\dfrac{1}{2}{{\log }_{\sqrt{2}}}y$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=10{{x}^{2}}-2\left( x+y \right)-3$ là
A. $-\dfrac{1}{9}$.
B. $\dfrac{1}{2}$.
C. $-\dfrac{7}{2}$.
D. $-3$.
A. $-\dfrac{1}{9}$.
B. $\dfrac{1}{2}$.
C. $-\dfrac{7}{2}$.
D. $-3$.
Với hai số thực dương $x$, $y$ ta có: $2+2{{\log }_{2}}x=\dfrac{1}{2}{{\log }_{\sqrt{2}}}y\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 4{{x}^{2}} \right)={{\log }_{2}}y\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}=y$.
Khi đó $P=10{{x}^{2}}-2x-2.4{{x}^{2}}-3=2{{x}^{2}}-2x-3=2{{\left( x-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}-\dfrac{7}{2}\ge -\dfrac{7}{2},\forall x>0$.
Mà $P\left( \dfrac{1}{2} \right)=-\dfrac{7}{2}$.
Do đó giá trị nhỏ nhất của $P$ là $-\dfrac{7}{2}$ đạt được khi và chỉ khi $x=\dfrac{1}{2}$ và $y=4{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}=1$.
Khi đó $P=10{{x}^{2}}-2x-2.4{{x}^{2}}-3=2{{x}^{2}}-2x-3=2{{\left( x-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}-\dfrac{7}{2}\ge -\dfrac{7}{2},\forall x>0$.
Mà $P\left( \dfrac{1}{2} \right)=-\dfrac{7}{2}$.
Do đó giá trị nhỏ nhất của $P$ là $-\dfrac{7}{2}$ đạt được khi và chỉ khi $x=\dfrac{1}{2}$ và $y=4{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}=1$.
Đáp án C.