Google
Câu hỏi: Cho hai số thực dương $a,b$ thỏa mãn $\dfrac{1}{2}{{\log }_{2}}a={{\log }_{2}}\dfrac{2}{b}.$ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=4{{a}^{3}}+{{b}^{3}}-4{{\log }_{2}}\left( 4{{a}^{3}}+{{b}^{3}} \right)$ được viết dưới dạng $x-y{{\log }_{2}}z$ với $x,y,z>2$ là các số nguyên, $z$ là số lẻ. Tổng $x+y+z$ bằng
A. 11
B. 2
C. 1
D. 4
A. 11
B. 2
C. 1
D. 4
Cách giải:
Ta có $\dfrac{1}{2}{{\log }_{2}}a={{\log }_{a}}\dfrac{2}{b}\Rightarrow {{\log }_{2}}\sqrt{a}={{\log }_{2}}\dfrac{2}{b}\Rightarrow \sqrt{a}=\dfrac{2}{b}\Rightarrow a=\dfrac{4}{{{b}^{2}}}$
Ta có $t=4{{a}^{3}}+{{b}^{3}}={{b}^{3}}+\dfrac{256}{{{b}^{6}}}\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{{{b}^{3}}}{2}.\dfrac{{{b}^{3}}}{2}.\dfrac{256}{{{b}^{6}}}}=12\Rightarrow t\in \left[ 12;+\infty \right)$
Nên $P=1-4{{\log }_{2}}t\Rightarrow P'=1-\dfrac{4}{t\ln 2}>0\forall t>2$
Nên $\min P=P\left( 12 \right)=4-4{{\log }_{2}}3\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=4 \\
& y=4 \\
& z=3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow x+y+z=11$
Ta có $\dfrac{1}{2}{{\log }_{2}}a={{\log }_{a}}\dfrac{2}{b}\Rightarrow {{\log }_{2}}\sqrt{a}={{\log }_{2}}\dfrac{2}{b}\Rightarrow \sqrt{a}=\dfrac{2}{b}\Rightarrow a=\dfrac{4}{{{b}^{2}}}$
Ta có $t=4{{a}^{3}}+{{b}^{3}}={{b}^{3}}+\dfrac{256}{{{b}^{6}}}\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{{{b}^{3}}}{2}.\dfrac{{{b}^{3}}}{2}.\dfrac{256}{{{b}^{6}}}}=12\Rightarrow t\in \left[ 12;+\infty \right)$
Nên $P=1-4{{\log }_{2}}t\Rightarrow P'=1-\dfrac{4}{t\ln 2}>0\forall t>2$
Nên $\min P=P\left( 12 \right)=4-4{{\log }_{2}}3\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=4 \\
& y=4 \\
& z=3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow x+y+z=11$
Đáp án A.