Cho hai số thực bất kì $a>1$, $b>1$. Gọi ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình ${{a}^{x}}{{b}^{{{x}^{2}}-1}}=1$. Trong trường...

Ta có : ${{a}^{x}}{{b}^{{{x}^{2}}-1}}=1$ $\overset{b>1}{\longleftrightarrow}{{\log }_{b}}\left( {{a}^{x}}{{b}^{{{x}^{2}}-1}} \right)={{\log }_{b}}1$ $\Leftrightarrow {{\log }_{b}}{{a}^{x}}+{{\log }_{b}}{{b}^{{{x}^{2}}-1}}=0$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x{{\log }_{b}}a-1=0$
Theo Viet ta có : $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-{{\log }_{b}}a \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-1 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow S={{\left( \frac{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}} \right)}^{2}}-6{{x}_{1}}-6{{x}_{2}} $ $ =\frac{1}{\log _{b}^{2}a}+6{{\log }_{b}}a $ $ =\frac{1}{\log _{b}^{2}a}+3{{\log }_{b}}a+3{{\log }_{b}}a $ $ \ge 3 \sqrt[3]{\frac{1}{\log _{b}^{2}a}.3{{\log }_{b}}a . 3{{\log }_{b}}a} $ $ =3 \sqrt[3]{9}$
$\Rightarrow {{S}_{\min }}=3\sqrt[3]{9}$ $\Leftrightarrow \frac{1}{\log _{b}^{2}a}=3{{\log }_{b}}a$ $\Leftrightarrow a={{b}^{\sqrt[3]{\frac{1}{3}}}}$.