Google
Câu hỏi: Cho hai số phức $z,w$ thỏa mãn $\left| z \right|=7$, $\left| w \right|=7$ và $\left| 3z-4w \right|=35$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $\left| 4z+3w+2022i \right|$ bằng
A. $2022$.
B. $4044$.
C. $2057$.
D. $2071$.
A. $2022$.
B. $4044$.
C. $2057$.
D. $2071$.
${{\left| 3z-4w \right|}^{2}}=\left( 3z-4w \right)\left( 3\overline{z}-4\overline{w} \right)=9{{\left| z \right|}^{2}}+16{{\left| w \right|}^{2}}-12\left( z\overline{w}+w\overline{z} \right)={{35}^{2}}\ \ \left( 1 \right)$
Thay $\left| z \right|=7$, $\left| w \right|=7$ vào $\left( 1 \right)$ ta được: $z\overline{w}+w\overline{z}=0$.
${{\left| 4z+3w \right|}^{2}}=\left( 4z+3w \right)\left( 4\overline{z}+3\overline{w} \right)=16{{\left| z \right|}^{2}}+9{{\left| w \right|}^{2}}+12\left( z\overline{w}+w\overline{z} \right)=1225$.
Suy ra $\left| 4z+3w \right|=35$.
Ta có: $\left| 4z+3w+2022i \right|\le \left| 4z+3w \right|+\left| 2022i \right|=35+2022=2057$.
Dấu bằng xảy ra khi $4z+3w=k.2022i$ với $k\in \mathbb{R},k>0$.
Vậy ${{\left| 4z+3w+2022 \right|}_{\max }}=2057$.
Thay $\left| z \right|=7$, $\left| w \right|=7$ vào $\left( 1 \right)$ ta được: $z\overline{w}+w\overline{z}=0$.
${{\left| 4z+3w \right|}^{2}}=\left( 4z+3w \right)\left( 4\overline{z}+3\overline{w} \right)=16{{\left| z \right|}^{2}}+9{{\left| w \right|}^{2}}+12\left( z\overline{w}+w\overline{z} \right)=1225$.
Suy ra $\left| 4z+3w \right|=35$.
Ta có: $\left| 4z+3w+2022i \right|\le \left| 4z+3w \right|+\left| 2022i \right|=35+2022=2057$.
Dấu bằng xảy ra khi $4z+3w=k.2022i$ với $k\in \mathbb{R},k>0$.
Vậy ${{\left| 4z+3w+2022 \right|}_{\max }}=2057$.
Đáp án C.