Google
Câu hỏi: Cho hai số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\dfrac{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}-{{z}_{2}}}$ là số ảo và $\left| {{z}_{1}}-1 \right|=1$. Giá trị lớn nhất của $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ bằng
A. $2\sqrt{2}.$
B. $4.$
C. $2.$
D. $1.$
A. $2\sqrt{2}.$
B. $4.$
C. $2.$
D. $1.$
Đặt:
${{z}_{1}}={{x}_{1}}+{{y}_{1}}i$, $\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}}\in \mathbb{R} \right)$ $\Rightarrow A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)$ là điểm biểu diễn của số phức ${{z}_{1}}$ trên mặt phẳng phức.
${{z}_{2}}={{x}_{2}}+{{y}_{2}}i$, $\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}}\in \mathbb{R} \right)$ $\Rightarrow B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ là điểm biểu diễn của số phức ${{z}_{2}}$ trên mặt phẳng phức.
Ta có:
$\begin{aligned}
& \dfrac{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}-{{z}_{2}}}=\dfrac{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+\left( {{y}_{1}}+{{y}_{2}} \right)i}{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)+\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right)i}=\dfrac{\left[ \left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+\left( {{y}_{1}}+{{y}_{2}} \right)i \right]\left[ \left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)-\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right)i \right]}{{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right)}^{2}}} \\
& =\dfrac{\left( {{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2} \right)+\left( {{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2} \right)+\left[ \left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left( {{y}_{1}}+{{y}_{2}} \right)-\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right) \right]i}{{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right)}^{2}}} \\
\end{aligned}$
$\dfrac{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}-{{z}_{2}}}$ là số ảo $\Leftrightarrow \left( {{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2} \right)+\left( {{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2} \right)=0\Leftrightarrow {{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}={{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}\Rightarrow OA=OB$
$\left| {{z}_{1}}-1 \right|=1\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}-1 \right)}^{2}}+{{y}_{1}}^{2}=1$
$\Rightarrow $ Tập hợp điểm $A$ trên mặt phẳng phức là đường tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( 1;\ 0 \right)$, bán kính $R=1$.
$\Rightarrow OA\le 2R=2$
$P=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right)}^{2}}}=AB\le OA+OB=2OA\le 4$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned}
& OA=OB=2 \\
& O, A, B thanghang \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow A\left( 2;\ 0 \right),B\left( -2;\ 0 \right)$.
Vậy giá trị lớn nhất của $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ là $4$.
${{z}_{1}}={{x}_{1}}+{{y}_{1}}i$, $\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}}\in \mathbb{R} \right)$ $\Rightarrow A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)$ là điểm biểu diễn của số phức ${{z}_{1}}$ trên mặt phẳng phức.
${{z}_{2}}={{x}_{2}}+{{y}_{2}}i$, $\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}}\in \mathbb{R} \right)$ $\Rightarrow B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ là điểm biểu diễn của số phức ${{z}_{2}}$ trên mặt phẳng phức.
Ta có:
$\begin{aligned}
& \dfrac{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}-{{z}_{2}}}=\dfrac{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+\left( {{y}_{1}}+{{y}_{2}} \right)i}{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)+\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right)i}=\dfrac{\left[ \left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+\left( {{y}_{1}}+{{y}_{2}} \right)i \right]\left[ \left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)-\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right)i \right]}{{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right)}^{2}}} \\
& =\dfrac{\left( {{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2} \right)+\left( {{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2} \right)+\left[ \left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left( {{y}_{1}}+{{y}_{2}} \right)-\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right) \right]i}{{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right)}^{2}}} \\
\end{aligned}$
$\dfrac{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}-{{z}_{2}}}$ là số ảo $\Leftrightarrow \left( {{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2} \right)+\left( {{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2} \right)=0\Leftrightarrow {{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}={{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}\Rightarrow OA=OB$
$\left| {{z}_{1}}-1 \right|=1\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}-1 \right)}^{2}}+{{y}_{1}}^{2}=1$
$\Rightarrow $ Tập hợp điểm $A$ trên mặt phẳng phức là đường tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( 1;\ 0 \right)$, bán kính $R=1$.
$\Rightarrow OA\le 2R=2$
$P=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right)}^{2}}}=AB\le OA+OB=2OA\le 4$
& OA=OB=2 \\
& O, A, B thanghang \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow A\left( 2;\ 0 \right),B\left( -2;\ 0 \right)$.
Vậy giá trị lớn nhất của $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ là $4$.
Đáp án B.