Google
Câu hỏi: Cho hai số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}-1-i \right|=1,\left| {{z}_{2}}-2+i \right|=2.$ Số phức $z$ thỏa mãn $\left( \overline{z}-\overline{{{z}_{1}}} \right)\left( 1+i-{{z}_{1}} \right)$ và $\left( \overline{z}-\overline{{{z}_{2}}} \right)\left( 2-i-{{z}_{2}} \right)$ là các số thuần ảo. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\left| z-3-2i \right|.$
A. 0
B. 3
C. 2
D. 1
A. 0
B. 3
C. 2
D. 1
Cách giải:
Giả sử ${{z}_{1}}={{x}_{1}}+{{y}_{1}}i;{{z}_{2}}={{x}_{2}}+{{y}_{2}}i;z=x+yi.$
Gọi các điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}},z$ lần lượt là ${{M}_{1}}\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),{{M}_{2}}\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right),M\left( x;y \right)$
Ta có:
$\left| {{z}_{1}}-1-i \right|=1\Rightarrow {{M}_{1}}\in \left( {{C}_{1}} \right)$ có tâm ${{I}_{1}}\left( 1;1 \right),$ bán kính ${{R}_{1}}=1.$
$\left| {{z}_{2}}-2+i \right|=2\Rightarrow {{M}_{2}}\in \left( {{C}_{2}} \right)$ có tâm ${{I}_{2}}\left( 2;-1 \right),$ bán kính ${{R}_{2}}=2.$
$\left( \overline{z}-\overline{{{z}_{1}}} \right)\left( 1+i-{{z}_{1}} \right)$ là số thuần ảo $\Leftrightarrow \left( x-{{x}_{1}} \right)\left( 1-{{x}_{1}} \right)+\left( y-{{y}_{1}} \right)\left( 1-{{y}_{1}} \right)=0\Leftrightarrow \overrightarrow{{{M}_{1}}M}\bot \overrightarrow{{{M}_{1}}{{I}_{1}}}\Leftrightarrow M{{M}_{1}}$ là tiếp tuyến của $\left( {{C}_{1}} \right).$
$\left( \overline{z}-\overline{{{z}_{2}}} \right)\left( 2-i-{{z}_{2}} \right)$ là số thuần ảo $\Leftrightarrow \left( x-{{x}_{2}} \right)\left( 2-{{x}_{2}} \right)+\left( y-{{y}_{2}} \right)\left( -1-{{y}_{2}} \right)=0\Leftrightarrow \overrightarrow{{{M}_{2}}M}\bot \overrightarrow{{{M}_{2}}{{I}_{2}}}\Leftrightarrow M{{M}_{2}}$ là tiếp tuyến của $\left( {{C}_{2}} \right).$
Ta có: $A\left( 3;2 \right)$ nằm ngoài đường tròn $\left( {{C}_{1}} \right),\left( {{C}_{2}} \right)$ nên từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới 2 đường tròn trên.
$\Rightarrow \left| z-3-2i \right|=MA$ đạt giá trị nỏ nhất bằng 0 khi $M\equiv A.$
Vậy ${{\left| z-3-2i \right|}_{\min }}=0.$
Giả sử ${{z}_{1}}={{x}_{1}}+{{y}_{1}}i;{{z}_{2}}={{x}_{2}}+{{y}_{2}}i;z=x+yi.$
Gọi các điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}},z$ lần lượt là ${{M}_{1}}\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),{{M}_{2}}\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right),M\left( x;y \right)$
Ta có:
$\left| {{z}_{1}}-1-i \right|=1\Rightarrow {{M}_{1}}\in \left( {{C}_{1}} \right)$ có tâm ${{I}_{1}}\left( 1;1 \right),$ bán kính ${{R}_{1}}=1.$
$\left| {{z}_{2}}-2+i \right|=2\Rightarrow {{M}_{2}}\in \left( {{C}_{2}} \right)$ có tâm ${{I}_{2}}\left( 2;-1 \right),$ bán kính ${{R}_{2}}=2.$
$\left( \overline{z}-\overline{{{z}_{1}}} \right)\left( 1+i-{{z}_{1}} \right)$ là số thuần ảo $\Leftrightarrow \left( x-{{x}_{1}} \right)\left( 1-{{x}_{1}} \right)+\left( y-{{y}_{1}} \right)\left( 1-{{y}_{1}} \right)=0\Leftrightarrow \overrightarrow{{{M}_{1}}M}\bot \overrightarrow{{{M}_{1}}{{I}_{1}}}\Leftrightarrow M{{M}_{1}}$ là tiếp tuyến của $\left( {{C}_{1}} \right).$
$\left( \overline{z}-\overline{{{z}_{2}}} \right)\left( 2-i-{{z}_{2}} \right)$ là số thuần ảo $\Leftrightarrow \left( x-{{x}_{2}} \right)\left( 2-{{x}_{2}} \right)+\left( y-{{y}_{2}} \right)\left( -1-{{y}_{2}} \right)=0\Leftrightarrow \overrightarrow{{{M}_{2}}M}\bot \overrightarrow{{{M}_{2}}{{I}_{2}}}\Leftrightarrow M{{M}_{2}}$ là tiếp tuyến của $\left( {{C}_{2}} \right).$
Ta có: $A\left( 3;2 \right)$ nằm ngoài đường tròn $\left( {{C}_{1}} \right),\left( {{C}_{2}} \right)$ nên từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới 2 đường tròn trên.
$\Rightarrow \left| z-3-2i \right|=MA$ đạt giá trị nỏ nhất bằng 0 khi $M\equiv A.$
Vậy ${{\left| z-3-2i \right|}_{\min }}=0.$
Đáp án A.