Google
Câu hỏi: Cho hai số phức ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}+5 \right|=5$ và $\left| {{z}_{2}}+1-3i \right|=\left| {{z}_{2}}-3-6i \right|.$ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ bằng
A. $\dfrac{1}{2}$.
B. $\dfrac{3}{2}$.
C. $\dfrac{5}{2}$.
D. $\dfrac{7}{2}$.
A. $\dfrac{1}{2}$.
B. $\dfrac{3}{2}$.
C. $\dfrac{5}{2}$.
D. $\dfrac{7}{2}$.
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức ${{\text{z}}_{1}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}+5 \right|=5$ là tập hợp các điểm
$M\left( x ; y \right)$ thoả mãn phương trình: ${{\left( x+5 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=25 \left( 1 \right)$ là đường tròn tâm $I\left( -5 ; 0 \right), R=5$
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức ${{\text{z}}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{2}}+1-3i \right|=\left| {{z}_{2}}-3-6i \right|$ là tập hợp các điểm $N\left( x ; y \right)$ thỏa mãn phương trình ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}={{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}\Leftrightarrow 8x+6y-35=0 \left( 2 \right)$
Khi đó $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ là khoảng cách từ một điểm thuộc $d:8x+6y-35=0$ tới một điểm thuộc đường tròn $\left( C \right):{{\left( x+5 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=25$.
Vì $d\left( I,d \right)=\dfrac{15}{2}>R$ $\Rightarrow {{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}_{\min }}=M{{N}_{\min }}=d\left( I,d \right)-R=\dfrac{15}{2}-5=\dfrac{5}{2}$.
$M\left( x ; y \right)$ thoả mãn phương trình: ${{\left( x+5 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=25 \left( 1 \right)$ là đường tròn tâm $I\left( -5 ; 0 \right), R=5$
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức ${{\text{z}}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{2}}+1-3i \right|=\left| {{z}_{2}}-3-6i \right|$ là tập hợp các điểm $N\left( x ; y \right)$ thỏa mãn phương trình ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}={{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}\Leftrightarrow 8x+6y-35=0 \left( 2 \right)$
Khi đó $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ là khoảng cách từ một điểm thuộc $d:8x+6y-35=0$ tới một điểm thuộc đường tròn $\left( C \right):{{\left( x+5 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=25$.
Vì $d\left( I,d \right)=\dfrac{15}{2}>R$ $\Rightarrow {{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}_{\min }}=M{{N}_{\min }}=d\left( I,d \right)-R=\dfrac{15}{2}-5=\dfrac{5}{2}$.
Đáp án C.