Google
Câu hỏi: Cho hai số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| \dfrac{{{z}_{1}}-i}{{{z}_{1}}+2-3i} \right|=1;\left| \dfrac{{{z}_{2}}+i}{{{z}_{2}}-1+i} \right|=\sqrt{2}$. Giá trị nhỏ nhất của $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ là
A. $2\sqrt{2}$.
B. $\sqrt{2}$.
C. $\sqrt{2}-1$.
D. $1$.
A. $2\sqrt{2}$.
B. $\sqrt{2}$.
C. $\sqrt{2}-1$.
D. $1$.
Giả sử ${{z}_{1}}={{x}_{1}}+{{y}_{1}}i$ với ${{x}_{1}};{{y}_{1}}\in \mathbb{R}$. Khi đó:
$\left| \dfrac{{{z}_{1}}-i}{{{z}_{1}}+2-3i} \right|=1\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}}-i \right|=\left| {{z}_{1}}+2-3i \right|\Leftrightarrow \left| {{x}_{1}}+\left( {{y}_{1}}-1 \right)i \right|=\left| \left( {{x}_{1}}+2 \right)+\left( {{y}_{1}}-3 \right)i \right|$
$\Leftrightarrow \sqrt{x_{_{1}}^{2}+{{\left( {{y}_{1}}-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+2 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{1}}-3 \right)}^{2}}}\Leftrightarrow {{x}_{1}}-{{y}_{1}}+3=0$.
$\Rightarrow $ Quỹ tích điểm $\Rightarrow {A}'H=AH.\tan 60{}^\circ =\dfrac{a}{4}$ biểu diễn số phức ${{z}_{1}}$ là đường thẳng $\Delta :x-y+3=0$.
Giả sử ${{z}_{2}}={{x}_{2}}+{{y}_{2}}i$ với ${{x}_{2}};{{y}_{2}}\in \mathbb{R}$. Ta có:
$\left| \dfrac{{{z}_{2}}+i}{{{z}_{2}}-1+i} \right|=\sqrt{2}\Leftrightarrow \left| {{z}_{2}}+i \right|=\sqrt{2}\left| {{z}_{2}}-1+i \right|\Leftrightarrow \left| {{x}_{2}}+\left( {{y}_{2}}+1 \right)i \right|=\sqrt{2}\left| \left( {{x}_{2}}-1 \right)+\left( {{y}_{2}}+1 \right)i \right|$
$\Leftrightarrow \sqrt{x_{2}^{2}+{{\left( {{y}_{2}}+1 \right)}^{2}}}=\sqrt{2}\sqrt{{{\left( {{x}_{2}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}+1 \right)}^{2}}}\Leftrightarrow x_{2}^{2}+y_{2}^{2}-4{{x}_{2}}+2{{y}_{2}}+3=0$.
$\Rightarrow $ Quỹ tích điểm $N$ biểu diễn số phức ${{z}_{2}}$ là đường tròn $\left( C \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+2y+3=0$ có tâm $I\left( 2;-1 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}-3}=\sqrt{2}$.
Khoảng cách từ $I$ đến $\Delta $ là: $d\left( I;\Delta \right)=\dfrac{\left| 2-\left( -1 \right)+3 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}}=3\sqrt{2}>R$ $\Rightarrow $ đường thẳng $\Delta $ và đường tròn $C$ không có điểm chung.
Ta có: $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=MN$ $\Rightarrow \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $MN$ nhỏ nhất.
Dễ thấy $M{{N}_{\min }}=3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}$.
$\left| \dfrac{{{z}_{1}}-i}{{{z}_{1}}+2-3i} \right|=1\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}}-i \right|=\left| {{z}_{1}}+2-3i \right|\Leftrightarrow \left| {{x}_{1}}+\left( {{y}_{1}}-1 \right)i \right|=\left| \left( {{x}_{1}}+2 \right)+\left( {{y}_{1}}-3 \right)i \right|$
$\Leftrightarrow \sqrt{x_{_{1}}^{2}+{{\left( {{y}_{1}}-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+2 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{1}}-3 \right)}^{2}}}\Leftrightarrow {{x}_{1}}-{{y}_{1}}+3=0$.
$\Rightarrow $ Quỹ tích điểm $\Rightarrow {A}'H=AH.\tan 60{}^\circ =\dfrac{a}{4}$ biểu diễn số phức ${{z}_{1}}$ là đường thẳng $\Delta :x-y+3=0$.
Giả sử ${{z}_{2}}={{x}_{2}}+{{y}_{2}}i$ với ${{x}_{2}};{{y}_{2}}\in \mathbb{R}$. Ta có:
$\left| \dfrac{{{z}_{2}}+i}{{{z}_{2}}-1+i} \right|=\sqrt{2}\Leftrightarrow \left| {{z}_{2}}+i \right|=\sqrt{2}\left| {{z}_{2}}-1+i \right|\Leftrightarrow \left| {{x}_{2}}+\left( {{y}_{2}}+1 \right)i \right|=\sqrt{2}\left| \left( {{x}_{2}}-1 \right)+\left( {{y}_{2}}+1 \right)i \right|$
$\Leftrightarrow \sqrt{x_{2}^{2}+{{\left( {{y}_{2}}+1 \right)}^{2}}}=\sqrt{2}\sqrt{{{\left( {{x}_{2}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}+1 \right)}^{2}}}\Leftrightarrow x_{2}^{2}+y_{2}^{2}-4{{x}_{2}}+2{{y}_{2}}+3=0$.
$\Rightarrow $ Quỹ tích điểm $N$ biểu diễn số phức ${{z}_{2}}$ là đường tròn $\left( C \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+2y+3=0$ có tâm $I\left( 2;-1 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}-3}=\sqrt{2}$.
Khoảng cách từ $I$ đến $\Delta $ là: $d\left( I;\Delta \right)=\dfrac{\left| 2-\left( -1 \right)+3 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}}=3\sqrt{2}>R$ $\Rightarrow $ đường thẳng $\Delta $ và đường tròn $C$ không có điểm chung.
Ta có: $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=MN$ $\Rightarrow \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $MN$ nhỏ nhất.
Đáp án A.