Google
Câu hỏi: Cho hai số phức ${{z}_{1}},\ {{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=5$ và $\left| {{z}_{1}}-13-6i \right|=8-\left| {{z}_{2}}-1-i \right|$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left| 2{{z}_{1}}+3{{z}_{2}}+10+5i \right|$ là
A. $3\sqrt{65}$.
B. $5\sqrt{13}$.
C. $\dfrac{45}{13}$.
D. $\dfrac{45\sqrt{65}}{13}$.
A. $3\sqrt{65}$.
B. $5\sqrt{13}$.
C. $\dfrac{45}{13}$.
D. $\dfrac{45\sqrt{65}}{13}$.
Gọi $A,\ B$ lần lượt là các điểm biểu diễn cho số phức ${{z}_{1}};\ {{z}_{2}}$.
Ta có $AB=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=5\ \left( 1 \right)$.
Gọi $C\left( 13;6 \right);\ D\left( 1;1 \right)\Rightarrow \overrightarrow{CD}\left( -12;-5 \right)\Rightarrow CD=13$.
Suy ra ta có $\left| {{z}_{1}}-13-6i \right|=CA;\ \left| {{z}_{2}}-1-i \right|=BD$.
Từ đó ta có $CA=8-BD\Rightarrow CA+BD=8\ \left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right),\ \left( 2 \right)$ suy ra $CA+AB+BD=13$.
Mà $CA+AB+BD\ge CD=13$ nên suy ra $A,\ B$ thuộc đoạn $CD$ và $A$ thuộc đoạn $CB$.
Có: $P=\left| 2{{z}_{1}}+3{{z}_{2}}+10+5i \right|=\left| 2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}+5\overrightarrow{OK} \right|$ (với $K\left( 2;1 \right)$ ).
Lấy điểm $I$ sao cho $2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\Rightarrow P=\left| 5\overrightarrow{OI}+5\overrightarrow{OK} \right|=5\left| \overrightarrow{OI}+\overrightarrow{OK} \right|$.
Đường thẳng $CD$ có phương trình: $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+12t \\
& y=1+5t \\
\end{aligned} \right.$.
$I\in AB\Rightarrow I\in CD\Rightarrow I\left( 1+12t,1+5t \right)$.
Vì $I$ thuộc đoạn $CD\Rightarrow 1\le 1+12t\le 13\Rightarrow 0\le t\le 1$.
Ta có $BI=\dfrac{2}{5}AB\Rightarrow DI\ge 2\Rightarrow {{\left( 12t \right)}^{2}}+{{\left( 5t \right)}^{2}}\ge 4\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t\ge \dfrac{2}{13} \\
& t\le -\dfrac{2}{13} \\
\end{aligned} \right. $. Do vậy ta có $ \dfrac{2}{13}\le t\le 1$.
Có
$\begin{aligned}
& {{P}^{2}}=25\left( O{{I}^{2}}+O{{K}^{2}}+2\overrightarrow{OI}\cdot \overrightarrow{OK} \right) \\
& \ \ \ \ \ =25\left[ {{\left( 1+12t \right)}^{2}}+{{\left( 1+5t \right)}^{2}}+5+2\left( 29t+3 \right) \right] \\
& \ \ \ \ \ =25\left( 169{{t}^{2}}+92t+13 \right) \\
\end{aligned}$
Xét $f\left( t \right)=25\left( 169{{t}^{2}}+92t+13 \right)$ liên tục trên $\left[ \dfrac{2}{13};1 \right]$.
Có ${f}'\left( t \right)=25\left( 338t+92 \right)>0\ \ \forall t\in \left[ \dfrac{2}{13};1 \right]$.
Suy ra $f\left( t \right)$ liên tục, đồng biến trên $\left[ \dfrac{2}{13};1 \right]$ $\Rightarrow \underset{\left[ \dfrac{2}{13};1 \right]}{\mathop{\min }} f\left( t \right)=f\left( \dfrac{2}{13} \right)=\dfrac{10125}{13}$.
Do vậy $\min P=\sqrt{\dfrac{10125}{13}}=\dfrac{45\sqrt{65}}{13}$.
Ta có $AB=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=5\ \left( 1 \right)$.
Gọi $C\left( 13;6 \right);\ D\left( 1;1 \right)\Rightarrow \overrightarrow{CD}\left( -12;-5 \right)\Rightarrow CD=13$.
Suy ra ta có $\left| {{z}_{1}}-13-6i \right|=CA;\ \left| {{z}_{2}}-1-i \right|=BD$.
Từ đó ta có $CA=8-BD\Rightarrow CA+BD=8\ \left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right),\ \left( 2 \right)$ suy ra $CA+AB+BD=13$.
Mà $CA+AB+BD\ge CD=13$ nên suy ra $A,\ B$ thuộc đoạn $CD$ và $A$ thuộc đoạn $CB$.
Có: $P=\left| 2{{z}_{1}}+3{{z}_{2}}+10+5i \right|=\left| 2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}+5\overrightarrow{OK} \right|$ (với $K\left( 2;1 \right)$ ).
Lấy điểm $I$ sao cho $2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\Rightarrow P=\left| 5\overrightarrow{OI}+5\overrightarrow{OK} \right|=5\left| \overrightarrow{OI}+\overrightarrow{OK} \right|$.
Đường thẳng $CD$ có phương trình: $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+12t \\
& y=1+5t \\
\end{aligned} \right.$.
$I\in AB\Rightarrow I\in CD\Rightarrow I\left( 1+12t,1+5t \right)$.
Vì $I$ thuộc đoạn $CD\Rightarrow 1\le 1+12t\le 13\Rightarrow 0\le t\le 1$.
Ta có $BI=\dfrac{2}{5}AB\Rightarrow DI\ge 2\Rightarrow {{\left( 12t \right)}^{2}}+{{\left( 5t \right)}^{2}}\ge 4\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t\ge \dfrac{2}{13} \\
& t\le -\dfrac{2}{13} \\
\end{aligned} \right. $. Do vậy ta có $ \dfrac{2}{13}\le t\le 1$.
Có
$\begin{aligned}
& {{P}^{2}}=25\left( O{{I}^{2}}+O{{K}^{2}}+2\overrightarrow{OI}\cdot \overrightarrow{OK} \right) \\
& \ \ \ \ \ =25\left[ {{\left( 1+12t \right)}^{2}}+{{\left( 1+5t \right)}^{2}}+5+2\left( 29t+3 \right) \right] \\
& \ \ \ \ \ =25\left( 169{{t}^{2}}+92t+13 \right) \\
\end{aligned}$
Xét $f\left( t \right)=25\left( 169{{t}^{2}}+92t+13 \right)$ liên tục trên $\left[ \dfrac{2}{13};1 \right]$.
Có ${f}'\left( t \right)=25\left( 338t+92 \right)>0\ \ \forall t\in \left[ \dfrac{2}{13};1 \right]$.
Suy ra $f\left( t \right)$ liên tục, đồng biến trên $\left[ \dfrac{2}{13};1 \right]$ $\Rightarrow \underset{\left[ \dfrac{2}{13};1 \right]}{\mathop{\min }} f\left( t \right)=f\left( \dfrac{2}{13} \right)=\dfrac{10125}{13}$.
Do vậy $\min P=\sqrt{\dfrac{10125}{13}}=\dfrac{45\sqrt{65}}{13}$.
Đáp án D.