Google
Câu hỏi: Cho hai số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=3$ và $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=3\sqrt{3}.$ Giá trị của biểu thức $\left| {{\left( {{z}_{1}}\overline{{{z}_{2}}} \right)}^{3}}+{{\left( \overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}} \right)}^{3}} \right|$ bằng:
A. 1458
B. 324
C. 729
D. 2196
A. 1458
B. 324
C. 729
D. 2196
Phương pháp:
- Gọi ${{z}_{1}}=a+bi,{{z}_{2}}=c+di.$
- Từ các giả thiết tìm ${{a}^{2}}+{{b}^{2}},{{c}^{2}}+{{d}^{2}},ac+bd.$
- Tính ${{z}_{1}}\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}}.$
- Sử dụng hằng đẳng thức ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}={{\left( a+b \right)}^{3}}-3ab\left( a+b \right).$
Cách giải:
Gọi ${{z}_{1}}=a+bi,{{z}_{2}}=c+di.$
Theo bài ra ta có:
+ $\left| {{z}_{1}} \right|=3\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=9$ (1)
+ $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=3\Leftrightarrow {{\left( a+c \right)}^{2}}+{{\left( b+d \right)}^{2}}=9$ (2)
+ $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=3\sqrt{3}\Leftrightarrow {{\left( a-c \right)}^{2}}+{{\left( b-d \right)}^{2}}=27$ (3)
Trừ vế theo vế của phương trình (2) và (3) ta được $4ac+4bd=-18\Leftrightarrow ac+bd=\dfrac{-9}{2}.$
Ta có:
$\left( 2 \right)\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}+2ac+2bd=9$
$\Leftrightarrow 9+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}-9=9$
$\Leftrightarrow {{c}^{2}}+{{d}^{2}}=9$
Ta có:
${{z}_{1}}\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}}$
$=\left( a+bi \right)\left( c-di \right)+\left( a-bi \right)\left( c+di \right)$
$=ac-adi+bci+bd+ac+adi-bci+bd$
$=2ac+2bd=-9$
Khi đó ta có:
${{\left( {{z}_{1}}\overline{{{z}_{2}}} \right)}^{3}}+{{\left( \overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}} \right)}^{3}}$
$={{\left( {{z}_{1}}\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}} \right)}^{3}}-3\left( {{z}_{1}}\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}} \right){{z}_{1}}\overline{{{z}_{2}}}\overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}}$
$={{\left( {{z}_{1}}\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}} \right)}^{3}}-3\left( {{z}_{1}}\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}} \right){{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}$
$={{\left( -9 \right)}^{3}}-3.\left( -9 \right).\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{c}^{2}}+{{d}^{2}} \right)$
$=-729+27.9.9=1458$
Vậy $\left| {{\left( {{z}_{1}}\overline{{{z}_{2}}} \right)}^{3}}+{{\left( \overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}} \right)}^{3}} \right|=1458.$
- Gọi ${{z}_{1}}=a+bi,{{z}_{2}}=c+di.$
- Từ các giả thiết tìm ${{a}^{2}}+{{b}^{2}},{{c}^{2}}+{{d}^{2}},ac+bd.$
- Tính ${{z}_{1}}\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}}.$
- Sử dụng hằng đẳng thức ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}={{\left( a+b \right)}^{3}}-3ab\left( a+b \right).$
Cách giải:
Gọi ${{z}_{1}}=a+bi,{{z}_{2}}=c+di.$
Theo bài ra ta có:
+ $\left| {{z}_{1}} \right|=3\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=9$ (1)
+ $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=3\Leftrightarrow {{\left( a+c \right)}^{2}}+{{\left( b+d \right)}^{2}}=9$ (2)
+ $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=3\sqrt{3}\Leftrightarrow {{\left( a-c \right)}^{2}}+{{\left( b-d \right)}^{2}}=27$ (3)
Trừ vế theo vế của phương trình (2) và (3) ta được $4ac+4bd=-18\Leftrightarrow ac+bd=\dfrac{-9}{2}.$
Ta có:
$\left( 2 \right)\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}+2ac+2bd=9$
$\Leftrightarrow 9+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}-9=9$
$\Leftrightarrow {{c}^{2}}+{{d}^{2}}=9$
Ta có:
${{z}_{1}}\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}}$
$=\left( a+bi \right)\left( c-di \right)+\left( a-bi \right)\left( c+di \right)$
$=ac-adi+bci+bd+ac+adi-bci+bd$
$=2ac+2bd=-9$
Khi đó ta có:
${{\left( {{z}_{1}}\overline{{{z}_{2}}} \right)}^{3}}+{{\left( \overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}} \right)}^{3}}$
$={{\left( {{z}_{1}}\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}} \right)}^{3}}-3\left( {{z}_{1}}\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}} \right){{z}_{1}}\overline{{{z}_{2}}}\overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}}$
$={{\left( {{z}_{1}}\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}} \right)}^{3}}-3\left( {{z}_{1}}\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}} \right){{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}$
$={{\left( -9 \right)}^{3}}-3.\left( -9 \right).\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{c}^{2}}+{{d}^{2}} \right)$
$=-729+27.9.9=1458$
Vậy $\left| {{\left( {{z}_{1}}\overline{{{z}_{2}}} \right)}^{3}}+{{\left( \overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}} \right)}^{3}} \right|=1458.$
Đáp án A.