Google
Câu hỏi: Cho hai số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau $\left| z-1 \right|=\sqrt{34},\left| z+1+mi \right|=\left| z+m+2i \right|$ (trong đó $m$ là số thực) và sao cho $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ là lớn nhất. Khi đó giá trị $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|$ bằng
A. $\sqrt{2}$.
B. $10$.
C. $2$.
D. $\sqrt{130}$.
Gọi $M,N$ lần lượt là điểm biểu diễn của số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$
Gọi $z=x+iy,\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$
Ta có $\left| z-1 \right|=\sqrt{34}\Rightarrow M,N$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( 1;0 \right)$, bán kính $R=\sqrt{34}$
Mà $\left| z+1+mi \right|=\left| z+m+2i \right|\Leftrightarrow \left| x+yi+1+mi \right|=\left| x+yi+m+2i \right|$
$\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+m \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( x+m \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}}$ $\Leftrightarrow 2\left( m-1 \right)x+2\left( m-2 \right)y-3=0$
Suy ra $M,N$ thuộc đường thẳng $d:2\left( m-1 \right)x+2\left( m-2 \right)y-3=0$
Do đó $M,N$ là giao điểm của đường thẳng $d$ và đường tròn $\left( C \right)$
Ta có $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=MN$ nên $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ lớn nhất khi và chỉ khi $MN$ lớn nhất
$\Leftrightarrow MN$ đường kính của $\left( C \right)$. Khi đó $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=2OI=2$
A. $\sqrt{2}$.
B. $10$.
C. $2$.
D. $\sqrt{130}$.
Gọi $z=x+iy,\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$
Ta có $\left| z-1 \right|=\sqrt{34}\Rightarrow M,N$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( 1;0 \right)$, bán kính $R=\sqrt{34}$
Mà $\left| z+1+mi \right|=\left| z+m+2i \right|\Leftrightarrow \left| x+yi+1+mi \right|=\left| x+yi+m+2i \right|$
$\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+m \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( x+m \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}}$ $\Leftrightarrow 2\left( m-1 \right)x+2\left( m-2 \right)y-3=0$
Suy ra $M,N$ thuộc đường thẳng $d:2\left( m-1 \right)x+2\left( m-2 \right)y-3=0$
Do đó $M,N$ là giao điểm của đường thẳng $d$ và đường tròn $\left( C \right)$
Ta có $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=MN$ nên $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ lớn nhất khi và chỉ khi $MN$ lớn nhất
$\Leftrightarrow MN$ đường kính của $\left( C \right)$. Khi đó $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=2OI=2$
Đáp án C.