Cho hai số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình $\left| 2z-i \right|=\left| 2+iz \right|,$ biết $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}}...

Phương pháp:
- Đặt $z=x+yi,$ khai triển $\left| 2z-i \right|=\left| 2+iz \right|$ tìm mối quan hệ giữa $x,y.$
- Chứng minh ${{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=2\left( {{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}} \right),$ từ đó tìm $P=\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|.$
Cách giải:
Đặt $z=x+yi$ ta có:
$\left| 2z-i \right|=\left| 2+iz \right|$
$\Leftrightarrow \left| 2x+2yi-i \right|=\left| 2+i\left( x+yi \right) \right|$
$\Leftrightarrow \left| 2x+\left( 2y-1 \right)i \right|=\left| \left( 2-y \right)+xi \right|$
$\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}+{{\left( 2y-1 \right)}^{2}}={{\left( 2-y \right)}^{2}}+{{x}^{2}}$
$\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+3{{y}^{2}}=3$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1$
Đặt ${{z}_{1}}={{x}_{1}}+{{y}_{1}}i,{{z}_{2}}={{x}_{2}}+{{y}_{2}}i,$ xét
$A={{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}$
$={{\left| \left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+\left( {{y}_{1}}+{{y}_{2}} \right)i \right|}^{2}}+{{\left| \left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)+\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right)i \right|}^{2}}$
$={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{1}}+{{y}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right)}^{2}}$
$=2\left( x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{2}^{2} \right)$
Vì ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình $\left| 2z-i \right|=\left| 2+iz \right|$ nên $\left\{ \begin{aligned}
& x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=1 \\
& x_{2}^{2}+y_{2}^{2}=1 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow A=2\left( 1+1 \right)=4$
$\Rightarrow {{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=4$
$\Rightarrow {{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}=4-{{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=3$
$\Rightarrow P=\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\sqrt{3}$