Google
Câu hỏi: Cho hai mạch dao động LC lí tưởng có cùng tần số. Điện tích cực đại của tụ ở mạch thứ nhất và thứ hai lần lượt là ${{Q}_{1}}$ và ${{Q}_{2}}$ thỏa mãn ${{Q}_{1}}+{{Q}_{2}}={{8.10}^{-6}}\left( C \right)$. Tại một thời điểm mạch thứ nhất có điện tích và cường độ dòng điện là ${{q}_{1}}$ và ${{i}_{1}}$, mạch thứ hai có điện tích và cường độ dòng điện là ${{q}_{2}}$ và ${{i}_{2}}$ thỏa mãn ${{q}_{1}}{{i}_{1}}+{{q}_{2}}{{i}_{2}}={{6.10}^{-9}}$. Giá trị nhỏ nhất của tần số dao động ở hai mạch là
A. $63,66 Hz.$
B. $76,39 Hz.$
C. $38,19 Hz.$
D. $59,68 Hz.$
A. $63,66 Hz.$
B. $76,39 Hz.$
C. $38,19 Hz.$
D. $59,68 Hz.$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{q}_{1}}={{Q}_{1}}\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{1}} \right) \\
& {{q}_{2}}={{Q}_{2}}\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{2}} \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{q}_{1}}{{q}_{2}}=\dfrac{{{Q}_{1}}{{Q}_{2}}}{2}\left[ \cos \left( 2\omega t+{{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}} \right)+\cos \left( {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}} \right) \right]$
Mặt khác:
${{q}_{1}}{{i}_{2}}+{{q}_{2}}{{i}_{1}}={{q}_{1}}{{q}_{2}}+{{q}_{2}}{{q}_{1}}=\left( {{q}_{1}}{{q}_{2}} \right)=-\dfrac{{{Q}_{1}}{{Q}_{2}}2\omega }{2}\sin \left( 2\omega t+{{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}} \right)={{6.10}^{-9}}$
$\Rightarrow \omega =\dfrac{{{6.10}^{-9}}}{{{Q}_{1}}{{Q}_{2}}\left| \sin \left( 2\omega t+{{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}} \right) \right|}$
Kết hợp với
${{Q}_{1}}+{{Q}_{2}}={{8.10}^{-6}}\xrightarrow[Cosi]{{{Q}_{1}}+{{Q}_{2}}\ge 2\sqrt{{{Q}_{1}}.{{Q}_{2}}}}{{\left( {{Q}_{1}}{{Q}_{2}} \right)}_{\max }}=\dfrac{{{\left( {{8.10}^{-6}} \right)}^{2}}}{4}={{1,6.10}^{-11}}$
${{\omega }_{\min }}=\dfrac{{{6.10}^{-9}}}{\underbrace{{{Q}_{1}}{{Q}_{2}}}_{\max ={{1,6.10}^{-11}}}.\underbrace{\left| \sin \left( 2\omega t+{{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}} \right) \right|}_{\max =1}}=375\left( rad/s \right)\Rightarrow {{f}_{\min }}=59,68\left( Hz \right)$
& {{q}_{1}}={{Q}_{1}}\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{1}} \right) \\
& {{q}_{2}}={{Q}_{2}}\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{2}} \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{q}_{1}}{{q}_{2}}=\dfrac{{{Q}_{1}}{{Q}_{2}}}{2}\left[ \cos \left( 2\omega t+{{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}} \right)+\cos \left( {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}} \right) \right]$
Mặt khác:
${{q}_{1}}{{i}_{2}}+{{q}_{2}}{{i}_{1}}={{q}_{1}}{{q}_{2}}+{{q}_{2}}{{q}_{1}}=\left( {{q}_{1}}{{q}_{2}} \right)=-\dfrac{{{Q}_{1}}{{Q}_{2}}2\omega }{2}\sin \left( 2\omega t+{{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}} \right)={{6.10}^{-9}}$
$\Rightarrow \omega =\dfrac{{{6.10}^{-9}}}{{{Q}_{1}}{{Q}_{2}}\left| \sin \left( 2\omega t+{{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}} \right) \right|}$
Kết hợp với
${{Q}_{1}}+{{Q}_{2}}={{8.10}^{-6}}\xrightarrow[Cosi]{{{Q}_{1}}+{{Q}_{2}}\ge 2\sqrt{{{Q}_{1}}.{{Q}_{2}}}}{{\left( {{Q}_{1}}{{Q}_{2}} \right)}_{\max }}=\dfrac{{{\left( {{8.10}^{-6}} \right)}^{2}}}{4}={{1,6.10}^{-11}}$
${{\omega }_{\min }}=\dfrac{{{6.10}^{-9}}}{\underbrace{{{Q}_{1}}{{Q}_{2}}}_{\max ={{1,6.10}^{-11}}}.\underbrace{\left| \sin \left( 2\omega t+{{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}} \right) \right|}_{\max =1}}=375\left( rad/s \right)\Rightarrow {{f}_{\min }}=59,68\left( Hz \right)$
Đáp án D.