Google
Câu hỏi: Cho hai mạch dao động LC có cùng tấn số. Điện tích cực đại của tụ ở mạch thứ nhất và thứ hai lần lượt là ${{Q}_{1}}$ và ${{Q}_{2}}$ thỏa mãn ${{Q}_{1}}+{{Q}_{2}}={{8.10}^{-6}}C$. Tại một thời điểm mạch thứ nhất có điện tích và cường độ dòng điện là ${{q}_{1}}$ và ${{i}_{1}}$, mạch điện thứ hai có điện tích và cường độ dòng điện là ${{q}_{2}}$ và ${{i}_{2}}$ thỏa mãn ${{q}_{1}}{{i}_{2}}+{{q}_{2}}{{i}_{1}}={{6.10}^{-9}}$. Giá trị nhỏ nhất của tần số dao động ở hai mạch là
A. $38,19Hz.$
B. $63,66Hz.$
C. $76,39Hz.$
D. $59,68Hz.$
A. $38,19Hz.$
B. $63,66Hz.$
C. $76,39Hz.$
D. $59,68Hz.$
Giả sử điện tích trong hai mạch dao động biến đổi theo quy luật
$\left\{ \begin{aligned}
& {{q}_{1}}={{Q}_{1}}\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{1}} \right) \\
& {{q}_{2}}={{Q}_{2}}\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{2}} \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{q}_{1}}{{q}_{2}}=\dfrac{{{Q}_{1}}{{Q}_{2}}}{2}\cos \left( {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}} \right)\cos \left( 2\omega t+{{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}} \right)$
Thấy: ${{q}_{1}}{{i}_{2}}+{{q}_{2}}{{i}_{1}}={{\left( {{q}_{1}}{{q}_{2}} \right)}^{\prime }}=-\omega {{Q}_{1}}{{Q}_{2}}\cos \left( {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}} \right)\sin \left( 2\omega t+{{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}} \right)$
$\Rightarrow $ Từ biểu thức trên ta có: $\omega =-\dfrac{{{\left( {{q}_{1}}{{q}_{2}} \right)}^{\prime }}}{{{Q}_{1}}{{Q}_{2}}\cos \left( {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}} \right)\sin \left( 2\omega t+{{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}} \right)}$
Tần số góc nhỏ nhất khi mẫu số là lớn nhất, các hàm lượng giác cực đại bằng 1.
Hơn nữa ${{Q}_{1}}+{{Q}_{2}}\ge 2\sqrt{{{Q}_{1}}{{Q}_{2}}}\Rightarrow {{Q}_{1}}{{Q}_{2}}\le \dfrac{{{\left( {{Q}_{1}}+{{Q}_{2}} \right)}^{2}}}{4}\Rightarrow {{\left( {{Q}_{1}}{{Q}_{2}} \right)}_{\max }}\le \dfrac{{{\left( {{Q}_{1}}+{{Q}_{2}} \right)}^{2}}}{4}$
Vậy ${{\omega }_{\min }}=\dfrac{{{\left( {{q}_{1}}{{q}_{2}} \right)}^{\prime }}}{\dfrac{{{\left( {{Q}_{1}}+{{Q}_{2}} \right)}^{2}}}{4}}=\dfrac{{{6.10}^{-9}}}{\dfrac{{{\left( {{8.10}^{-6}} \right)}^{2}}}{4}}=375\Rightarrow {{f}_{\min }}=59,68Hz.$
$\left\{ \begin{aligned}
& {{q}_{1}}={{Q}_{1}}\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{1}} \right) \\
& {{q}_{2}}={{Q}_{2}}\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{2}} \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{q}_{1}}{{q}_{2}}=\dfrac{{{Q}_{1}}{{Q}_{2}}}{2}\cos \left( {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}} \right)\cos \left( 2\omega t+{{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}} \right)$
Thấy: ${{q}_{1}}{{i}_{2}}+{{q}_{2}}{{i}_{1}}={{\left( {{q}_{1}}{{q}_{2}} \right)}^{\prime }}=-\omega {{Q}_{1}}{{Q}_{2}}\cos \left( {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}} \right)\sin \left( 2\omega t+{{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}} \right)$
$\Rightarrow $ Từ biểu thức trên ta có: $\omega =-\dfrac{{{\left( {{q}_{1}}{{q}_{2}} \right)}^{\prime }}}{{{Q}_{1}}{{Q}_{2}}\cos \left( {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}} \right)\sin \left( 2\omega t+{{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}} \right)}$
Tần số góc nhỏ nhất khi mẫu số là lớn nhất, các hàm lượng giác cực đại bằng 1.
Hơn nữa ${{Q}_{1}}+{{Q}_{2}}\ge 2\sqrt{{{Q}_{1}}{{Q}_{2}}}\Rightarrow {{Q}_{1}}{{Q}_{2}}\le \dfrac{{{\left( {{Q}_{1}}+{{Q}_{2}} \right)}^{2}}}{4}\Rightarrow {{\left( {{Q}_{1}}{{Q}_{2}} \right)}_{\max }}\le \dfrac{{{\left( {{Q}_{1}}+{{Q}_{2}} \right)}^{2}}}{4}$
Vậy ${{\omega }_{\min }}=\dfrac{{{\left( {{q}_{1}}{{q}_{2}} \right)}^{\prime }}}{\dfrac{{{\left( {{Q}_{1}}+{{Q}_{2}} \right)}^{2}}}{4}}=\dfrac{{{6.10}^{-9}}}{\dfrac{{{\left( {{8.10}^{-6}} \right)}^{2}}}{4}}=375\Rightarrow {{f}_{\min }}=59,68Hz.$
Đáp án D.