Google
Câu hỏi: Cho hai khối nón có chung trục $S{S}'=3r.$ Khối nón thứ nhất có đỉnh S, đáy là hình tròn tâm S', bán kính 2r. Khối nón thứ hai có đỉnh S', đáy là hình tròn tâm S bán kính r. Thể tích phần chung của hai khối nón đã cho bằng:
A. $\dfrac{4\pi {{r}^{3}}}{27}$
B. $\dfrac{\pi {{r}^{3}}}{9}$
C. $\dfrac{4\pi {{r}^{3}}}{9}$
D. $\dfrac{4\pi {{r}^{3}}}{3}$
A. $\dfrac{4\pi {{r}^{3}}}{27}$
B. $\dfrac{\pi {{r}^{3}}}{9}$
C. $\dfrac{4\pi {{r}^{3}}}{9}$
D. $\dfrac{4\pi {{r}^{3}}}{3}$
Phương pháp:
- Xác định thể tích phần chung là thể tích của hai khối nón
- Sử dụng định lý Ta-lét để tính chiều cao và bán kính đáy của từng khối nón
- Sử dụng công thức để tính khối nón. Thể tích khối nón có chiều cao h, bán kính đáy r là $V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h$
Cách giải:
Giả sử một mặt phẳng chứa trục SS' cắt hình nón đỉnh S theo một thiết diện qua trục là $\Delta SAB$, cắt hình nón S' theo một thiết diện qua trục là $\Delta {S}'CD$
Gọi $M=SA\cap {S}'D,N=SB\cap {S}'C,H=S{S}'\cap MN$
Dễ thấy $AB//CD$ (cùng vuông góc với $S{S}'$ ), do đó áp dụng định lý Ta-lét ta có:
$\dfrac{SM}{AM}=\dfrac{SD}{{S}'A}=\dfrac{r}{2r}=\dfrac{1}{2},\dfrac{SN}{BN}=\dfrac{SC}{{S}'B}=\dfrac{r}{2r}=\dfrac{1}{2}$
$\Rightarrow \dfrac{SM}{AM}=\dfrac{SN}{BN}\Rightarrow MN//AB//CD$ (định lý Ta-lét đảo)
$\Rightarrow \dfrac{SH}{S{S}'}=\dfrac{MH}{{S}'A}=\dfrac{SM}{SA}=\dfrac{1}{3}$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& SH=\dfrac{1}{3}S{S}'=\dfrac{1}{3}.3r=r \\
& MH=\dfrac{1}{3}{S}'A=\dfrac{1}{3}.2r=\dfrac{2r}{3} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow H{S}'=S{S}'-SH=3r-r=2r$
Thể tích phần chung của hai khối nón bao gồm:
+ ${{V}_{1}}$ là thể tích khối nón đỉnh S có chiều cao ${{h}_{1}}=SH=r,$ bán kính ${{R}_{1}}=MH=\dfrac{2r}{3}$
$\Rightarrow {{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}\pi R_{1}^{2}.{{h}_{1}}=\dfrac{1}{3}\pi .{{\left( \dfrac{2r}{3} \right)}^{2}}.r=\dfrac{4\pi {{r}^{3}}}{27}$
+ ${{V}_{2}}$ là thể tích khối nón đỉnh ${{S}_{1}}$ có chiều cao ${{h}_{2}}={S}'H=2r,$ bán kính ${{R}_{2}}=MH=\dfrac{2r}{3}$
$\Rightarrow {{V}_{2}}=\dfrac{1}{3}\pi R_{2}^{2}.{{h}_{2}}=\dfrac{1}{3}\pi .{{\left( \dfrac{2r}{3} \right)}^{2}}.2r=\dfrac{8\pi {{r}^{3}}}{27}$
Vậy thể tích phần chung của hai khối nón là $V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}=\dfrac{4\pi {{r}^{3}}}{27}+\dfrac{8\pi {{r}^{3}}}{27}=\dfrac{4\pi {{r}^{3}}}{9}$
- Xác định thể tích phần chung là thể tích của hai khối nón
- Sử dụng định lý Ta-lét để tính chiều cao và bán kính đáy của từng khối nón
- Sử dụng công thức để tính khối nón. Thể tích khối nón có chiều cao h, bán kính đáy r là $V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h$
Cách giải:
Giả sử một mặt phẳng chứa trục SS' cắt hình nón đỉnh S theo một thiết diện qua trục là $\Delta SAB$, cắt hình nón S' theo một thiết diện qua trục là $\Delta {S}'CD$
Gọi $M=SA\cap {S}'D,N=SB\cap {S}'C,H=S{S}'\cap MN$
Dễ thấy $AB//CD$ (cùng vuông góc với $S{S}'$ ), do đó áp dụng định lý Ta-lét ta có:
$\dfrac{SM}{AM}=\dfrac{SD}{{S}'A}=\dfrac{r}{2r}=\dfrac{1}{2},\dfrac{SN}{BN}=\dfrac{SC}{{S}'B}=\dfrac{r}{2r}=\dfrac{1}{2}$
$\Rightarrow \dfrac{SM}{AM}=\dfrac{SN}{BN}\Rightarrow MN//AB//CD$ (định lý Ta-lét đảo)
$\Rightarrow \dfrac{SH}{S{S}'}=\dfrac{MH}{{S}'A}=\dfrac{SM}{SA}=\dfrac{1}{3}$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& SH=\dfrac{1}{3}S{S}'=\dfrac{1}{3}.3r=r \\
& MH=\dfrac{1}{3}{S}'A=\dfrac{1}{3}.2r=\dfrac{2r}{3} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow H{S}'=S{S}'-SH=3r-r=2r$
Thể tích phần chung của hai khối nón bao gồm:
+ ${{V}_{1}}$ là thể tích khối nón đỉnh S có chiều cao ${{h}_{1}}=SH=r,$ bán kính ${{R}_{1}}=MH=\dfrac{2r}{3}$
$\Rightarrow {{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}\pi R_{1}^{2}.{{h}_{1}}=\dfrac{1}{3}\pi .{{\left( \dfrac{2r}{3} \right)}^{2}}.r=\dfrac{4\pi {{r}^{3}}}{27}$
+ ${{V}_{2}}$ là thể tích khối nón đỉnh ${{S}_{1}}$ có chiều cao ${{h}_{2}}={S}'H=2r,$ bán kính ${{R}_{2}}=MH=\dfrac{2r}{3}$
$\Rightarrow {{V}_{2}}=\dfrac{1}{3}\pi R_{2}^{2}.{{h}_{2}}=\dfrac{1}{3}\pi .{{\left( \dfrac{2r}{3} \right)}^{2}}.2r=\dfrac{8\pi {{r}^{3}}}{27}$
Vậy thể tích phần chung của hai khối nón là $V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}=\dfrac{4\pi {{r}^{3}}}{27}+\dfrac{8\pi {{r}^{3}}}{27}=\dfrac{4\pi {{r}^{3}}}{9}$
Đáp án C.