Google
Câu hỏi: Cho hai hình chóp tam giác đều có cùng chiều cao. Biết đỉnh của hình chóp này trùng với tâm đáy của hình chóp chóp kia, mỗi cạnh bên của hình chóp này đều cắt một cạnhbên của hình chóp kia. Cạnh bên có độ dài bằng $a$ của hình chóp thứ nhất tạo với đườngcao của nó một góc bằng $30{}^\circ $, cạnh bên của hình chóp thứ hai tạo với đường cao của nó một góc bằng $45{}^\circ $. Tính thể tích phần chung của hai hình chóp đã cho ?
A. $\dfrac{3\left( 2-\sqrt{3} \right){{a}^{3}}}{64}$.
B. $\dfrac{\left( 2-\sqrt{3} \right){{a}^{3}}}{32}$.
C. $\dfrac{9\left( 2-\sqrt{3} \right){{a}^{3}}}{64}$.
D. $\dfrac{27\left( 2-\sqrt{3} \right){{a}^{3}}}{64}$.
Giả sử hai hình chóp đã cho là $S.ABC$, ${S}'.MNP$ và $SA, SB, SC$ theo thứ tự cắt ${S}'M$, ${S}'N$, ${S}'P$ tại $E, F, G$.
Dễ thấy ba mặt phẳng $\left( ABC \right)$, $\left( EFG \right)$, $\left( MNP \right)$ đôi một song song và $\Delta MNP$ đều, $SS'$ vuông góc với $\left( MNP \right)$ tại $O$ ( $H, K, D$ theo thứ tự là trung điểm của $NP, FG, BC$ ; $O$ là giao điểm của $S{S}'$ và $EK$ ); $\widehat{{S}'SA}=30{}^\circ $, $\widehat{S{S}'M}=45{}^\circ $, ${S}'S=SA.\cos 30{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Goi $V$ là thể tích phần chung của hai hình chóp đã cho, ta có
$V=\dfrac{1}{3}SO.{{S}_{FEG}}+\dfrac{1}{3}{S}'O.{{S}_{FEG}}=\dfrac{1}{3}{S}'S.{{S}_{FEG}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}{{S}_{FEG}}$.
Xét tam giác ${S}'ES$, ta có $SO=\dfrac{OE}{\tan 30{}^\circ }=OE\sqrt{3}$, ${S}'O=\dfrac{OE}{\tan 45{}^\circ }=OE$ suy ra $\left( 1+\sqrt{3} \right)OE={S}'S=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ $\Rightarrow OE=\dfrac{a\sqrt{3}}{2\left( 1+\sqrt{3} \right)}=FE\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ $\Rightarrow FE=\dfrac{3a}{2\left( 1+\sqrt{3} \right)}$.
${{S}_{FEG}}=F{{E}^{2}}\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\dfrac{9}{16}\sqrt{3}}{4+2\sqrt{3}}{{a}^{2}}$ $\Rightarrow V=\dfrac{18-9\sqrt{3}}{64}{{a}^{3}}$.
A. $\dfrac{3\left( 2-\sqrt{3} \right){{a}^{3}}}{64}$.
B. $\dfrac{\left( 2-\sqrt{3} \right){{a}^{3}}}{32}$.
C. $\dfrac{9\left( 2-\sqrt{3} \right){{a}^{3}}}{64}$.
D. $\dfrac{27\left( 2-\sqrt{3} \right){{a}^{3}}}{64}$.
Dễ thấy ba mặt phẳng $\left( ABC \right)$, $\left( EFG \right)$, $\left( MNP \right)$ đôi một song song và $\Delta MNP$ đều, $SS'$ vuông góc với $\left( MNP \right)$ tại $O$ ( $H, K, D$ theo thứ tự là trung điểm của $NP, FG, BC$ ; $O$ là giao điểm của $S{S}'$ và $EK$ ); $\widehat{{S}'SA}=30{}^\circ $, $\widehat{S{S}'M}=45{}^\circ $, ${S}'S=SA.\cos 30{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Goi $V$ là thể tích phần chung của hai hình chóp đã cho, ta có
$V=\dfrac{1}{3}SO.{{S}_{FEG}}+\dfrac{1}{3}{S}'O.{{S}_{FEG}}=\dfrac{1}{3}{S}'S.{{S}_{FEG}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}{{S}_{FEG}}$.
Xét tam giác ${S}'ES$, ta có $SO=\dfrac{OE}{\tan 30{}^\circ }=OE\sqrt{3}$, ${S}'O=\dfrac{OE}{\tan 45{}^\circ }=OE$ suy ra $\left( 1+\sqrt{3} \right)OE={S}'S=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ $\Rightarrow OE=\dfrac{a\sqrt{3}}{2\left( 1+\sqrt{3} \right)}=FE\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ $\Rightarrow FE=\dfrac{3a}{2\left( 1+\sqrt{3} \right)}$.
${{S}_{FEG}}=F{{E}^{2}}\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\dfrac{9}{16}\sqrt{3}}{4+2\sqrt{3}}{{a}^{2}}$ $\Rightarrow V=\dfrac{18-9\sqrt{3}}{64}{{a}^{3}}$.
Đáp án C.