Google
Câu hỏi: Cho hai hàm số $y=\dfrac{x-3}{x-2}+\dfrac{x-2}{x-1}+\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}$ và $y=\left| x+2 \right|-x+m$ ( $m$ là tham số thực) có đồ thị lần lượt là $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$. Tập hợp tất cả các giá trị của $m$ để $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$ cắt nhau tại $4$ điểm phân biệt là
A. $\left( -\infty ;2 \right]$.
B. $\left[ 2;+\infty \right)$.
C. $\left( -\infty ;2 \right)$.
D. $\left( 2;+\infty \right)$.
A. $\left( -\infty ;2 \right]$.
B. $\left[ 2;+\infty \right)$.
C. $\left( -\infty ;2 \right)$.
D. $\left( 2;+\infty \right)$.
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$ :
$\dfrac{x-3}{x-2}+\dfrac{x-2}{x-1}+\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}=\left| x+2 \right|-x+m$ $\Leftrightarrow \dfrac{x-3}{x-2}+\dfrac{x-2}{x-1}+\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}-\left| x+2 \right|+x-m=0$ (1). Đặt $f\left( x \right)=\dfrac{x-3}{x-2}+\dfrac{x-2}{x-1}+\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}-\left| x+2 \right|+x-m$.
Tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -1;0;1;2 \right\}$ có ${f}'\left( x \right)=\dfrac{1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}-\dfrac{x+2}{\left| x+2 \right|}+1$
$=\dfrac{1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}+\dfrac{\left| x+2 \right|-\left( x+2 \right)}{\left| x+2 \right|}$ $\Rightarrow {f}'\left( x \right)>0 ,\forall x\in D,x\ne -2$.
Bảng biến thiên
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow $ (1) có 4 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow 2-m\le 0\Leftrightarrow m\ge 2$.
$\dfrac{x-3}{x-2}+\dfrac{x-2}{x-1}+\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}=\left| x+2 \right|-x+m$ $\Leftrightarrow \dfrac{x-3}{x-2}+\dfrac{x-2}{x-1}+\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}-\left| x+2 \right|+x-m=0$ (1). Đặt $f\left( x \right)=\dfrac{x-3}{x-2}+\dfrac{x-2}{x-1}+\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}-\left| x+2 \right|+x-m$.
Tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -1;0;1;2 \right\}$ có ${f}'\left( x \right)=\dfrac{1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}-\dfrac{x+2}{\left| x+2 \right|}+1$
$=\dfrac{1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}+\dfrac{\left| x+2 \right|-\left( x+2 \right)}{\left| x+2 \right|}$ $\Rightarrow {f}'\left( x \right)>0 ,\forall x\in D,x\ne -2$.
Bảng biến thiên
Đáp án B.