Google
Câu hỏi: Cho hai hàm số $y=x(x-2)(x-3)(m-|x|);y={{x}^{4}}-6{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}+11x-6$ có đồ thị lần lượt là $\left(C_{1}\right),\left(C_{2}\right)$. Có bao nhiêu giá trị nguyên $m$ thuộc đoạn $[-2020 ; 2020]$ để $\left(C_{1}\right)$ cắt $\left(C_{2}\right)$ tại 4 điểm phân biệt?
A. $2021$
B. $2019$
C. $4041$
D. $2020$
A. $2021$
B. $2019$
C. $4041$
D. $2020$
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
$x\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)\left( m-\left| x \right| \right)={{x}^{4}}-6{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}+11x-6\text{ }\left( 1 \right)$
Số giao điểm của $\left( {{C}_{1}} \right);\left( {{C}_{2}} \right)$ là số nghiệm của phương trình $\left( 1 \right).$
Do $x=0;x=2;x=3$ không là nghiệm của phương trình (1) nên:
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{4}}-6{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}+11x-6}{x\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)}=m-\left| x \right|$
$\Leftrightarrow x-1-\dfrac{2}{x-2}-\dfrac{3}{x-3}-\dfrac{1}{x}+\left| x \right|=m$
Đặt $f\left( x \right)=x-1-\dfrac{2}{x-2}-\dfrac{3}{x-3}-\dfrac{1}{x}+\left| x \right|=\left\{ \begin{aligned}
& 2x-1-\dfrac{2}{x-2}-\dfrac{3}{x-3}-\dfrac{1}{x},x>0 \\
& -1-\dfrac{2}{x-2}-\dfrac{3}{x-3}-\dfrac{1}{x},x<0 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có $f'\left( x \right)=\left\{ \begin{aligned}
& 2+\dfrac{2}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}+\dfrac{3}{{{\left( x-3 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}},x\ge 0 \\
& \dfrac{2}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}+\dfrac{3}{{{\left( x-3 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}},x<0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow f'\left( x \right)>0,\forall x\in \mathbb{R}.$
Suy ra $f\left( x \right)$ đồng biến trên từng khoảng xác định của nó: $\left( -\infty ;0 \right);\left( 0;2 \right);\left( 2;3 \right);\left( 3;+\infty \right).$
Mặt khác $\underset{x\Rightarrow +\infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=+\infty ;\underset{x\Rightarrow -\infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=-1$
$\underset{x\Rightarrow {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=+\infty ;\underset{x\Rightarrow {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=-\infty ;\underset{x\Rightarrow {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=+\infty ;\underset{x\Rightarrow {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=-\infty ;\underset{x\Rightarrow {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=+\infty ;\underset{x\Rightarrow {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=-\infty $
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi $m>-1.$
Vậy số giá trị nguyên của $m\in \left[ -2020;2020 \right]$ thỏa mãn là 2021.
$x\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)\left( m-\left| x \right| \right)={{x}^{4}}-6{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}+11x-6\text{ }\left( 1 \right)$
Số giao điểm của $\left( {{C}_{1}} \right);\left( {{C}_{2}} \right)$ là số nghiệm của phương trình $\left( 1 \right).$
Do $x=0;x=2;x=3$ không là nghiệm của phương trình (1) nên:
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{4}}-6{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}+11x-6}{x\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)}=m-\left| x \right|$
$\Leftrightarrow x-1-\dfrac{2}{x-2}-\dfrac{3}{x-3}-\dfrac{1}{x}+\left| x \right|=m$
Đặt $f\left( x \right)=x-1-\dfrac{2}{x-2}-\dfrac{3}{x-3}-\dfrac{1}{x}+\left| x \right|=\left\{ \begin{aligned}
& 2x-1-\dfrac{2}{x-2}-\dfrac{3}{x-3}-\dfrac{1}{x},x>0 \\
& -1-\dfrac{2}{x-2}-\dfrac{3}{x-3}-\dfrac{1}{x},x<0 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có $f'\left( x \right)=\left\{ \begin{aligned}
& 2+\dfrac{2}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}+\dfrac{3}{{{\left( x-3 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}},x\ge 0 \\
& \dfrac{2}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}+\dfrac{3}{{{\left( x-3 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}},x<0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow f'\left( x \right)>0,\forall x\in \mathbb{R}.$
Suy ra $f\left( x \right)$ đồng biến trên từng khoảng xác định của nó: $\left( -\infty ;0 \right);\left( 0;2 \right);\left( 2;3 \right);\left( 3;+\infty \right).$
Mặt khác $\underset{x\Rightarrow +\infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=+\infty ;\underset{x\Rightarrow -\infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=-1$
$\underset{x\Rightarrow {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=+\infty ;\underset{x\Rightarrow {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=-\infty ;\underset{x\Rightarrow {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=+\infty ;\underset{x\Rightarrow {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=-\infty ;\underset{x\Rightarrow {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=+\infty ;\underset{x\Rightarrow {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=-\infty $
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi $m>-1.$
Vậy số giá trị nguyên của $m\in \left[ -2020;2020 \right]$ thỏa mãn là 2021.
Đáp án A.