Google
Câu hỏi: Cho hai hàm số $y=\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}$ và $y={{e}^{-x}}+2021+3m$ ( $m$ là tham số thực) có đồ thị lần lượt là $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$. Có bao nhiêu số nguyên $m$ thuộc $\left( -2021;2020 \right]$ để $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$ cắt nhau tại 3 điểm phân biệt?
A. 2694.
B. 2693.
C. 4041.
D. 4042.
A. 2694.
B. 2693.
C. 4041.
D. 4042.
Phương pháp:
- Cô lập $m,$ để phương trình về dạng $f\left( x \right)=m.$
- Khảo sát và lập BBT của hàm số $f\left( x \right),$ từ đó suy ra $m$ thỏa mãn.
Cách giải:
TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0;-1;-2 \right\}.$
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
$\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}={{e}^{-x}}+2021+3m$
$\Leftrightarrow \dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}-{{e}^{-x}}=3m+2021$
Xét $f\left( x \right)=\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}-{{e}^{-x}}$
$\Rightarrow f'\left( x \right)=\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}+{{e}^{x}}>0\forall x\in D.$
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị 2 hàm số cắt nhau tại 3 điểm phân biệt khi
$3m+2021\ne 3\Rightarrow m\ne -\dfrac{2018}{3}$
Kết hợp điều kiện đề bài ta có: $\Rightarrow -672\le m\le 2020\Rightarrow m\in \left\{ -2020;-2019;-2018;...;2020 \right\}.$
Vậy có 4041 giá trị thỏa mãn.
- Cô lập $m,$ để phương trình về dạng $f\left( x \right)=m.$
- Khảo sát và lập BBT của hàm số $f\left( x \right),$ từ đó suy ra $m$ thỏa mãn.
Cách giải:
TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0;-1;-2 \right\}.$
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
$\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}={{e}^{-x}}+2021+3m$
$\Leftrightarrow \dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}-{{e}^{-x}}=3m+2021$
Xét $f\left( x \right)=\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}-{{e}^{-x}}$
$\Rightarrow f'\left( x \right)=\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}+{{e}^{x}}>0\forall x\in D.$
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị 2 hàm số cắt nhau tại 3 điểm phân biệt khi
$3m+2021\ne 3\Rightarrow m\ne -\dfrac{2018}{3}$
Kết hợp điều kiện đề bài ta có: $\Rightarrow -672\le m\le 2020\Rightarrow m\in \left\{ -2020;-2019;-2018;...;2020 \right\}.$
Vậy có 4041 giá trị thỏa mãn.
Đáp án C.