Google
Câu hỏi: Cho hai hàm số $y={{a}^{x}},y={{b}^{x}}(a,b$ là các số dương khác 1) có đồ thị là $\left( {{C}_{1}} \right),\left( {{C}_{2}} \right)$ như hình vẽ. Vẽ đường thẳng $y=c\left( c>1 \right)$ cắt trục tung và $\left( {{C}_{1}} \right),\left( {{C}_{2}} \right)$ lần lượt tại $M,N,P.$ Biết rằng ${{S}_{OMN}}=3{{S}_{ONP}}.$ Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau
A. $a=3\sqrt{b}.$
B. ${{a}^{3}}={{b}^{2}}.$
C. $b=a\sqrt{3}.$
D. ${{a}^{3}}={{b}^{4}}.$
Vì ${{S}_{OMN}}=3{{S}_{ONP}}$ nên: ${{S}_{OMN}}=\dfrac{3}{4}{{S}_{OMP}}\left( 1 \right)$
Đường thẳng $y=c$ cắt $\left( {{C}_{1}} \right),\left( {{C}_{2}} \right)$ lần lượt tại hai điểm $N,P$ có hoành độ: ${{x}_{N}}=\log _{a}^{c},{{x}_{P}}=\log _{b}^{c}$
Từ đó ta có:
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{\log _{c}^{a}}{\left( c-{{a}^{x}} \right)dx}=\dfrac{3}{4}\int\limits_{0}^{\log _{b}^{c}}{\left( c-{{b}^{x}} \right)dx}$
$\Leftrightarrow c\log _{a}^{c}-\left( \dfrac{{{a}^{\log _{a}^{c}}}}{\ln a}-\dfrac{1}{\ln a} \right)=\dfrac{3}{4}\left( c\log _{b}^{c}-\left( \dfrac{{{b}^{\log _{b}^{c}}}}{\ln b}-\dfrac{1}{\ln b} \right) \right)$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{\ln a}=\dfrac{3}{4}.\dfrac{1}{\ln b}\Leftrightarrow 4.\ln b=3\ln a\Leftrightarrow {{b}^{4}}={{a}^{3}}$.
A. $a=3\sqrt{b}.$
B. ${{a}^{3}}={{b}^{2}}.$
C. $b=a\sqrt{3}.$
D. ${{a}^{3}}={{b}^{4}}.$
Vì ${{S}_{OMN}}=3{{S}_{ONP}}$ nên: ${{S}_{OMN}}=\dfrac{3}{4}{{S}_{OMP}}\left( 1 \right)$
Đường thẳng $y=c$ cắt $\left( {{C}_{1}} \right),\left( {{C}_{2}} \right)$ lần lượt tại hai điểm $N,P$ có hoành độ: ${{x}_{N}}=\log _{a}^{c},{{x}_{P}}=\log _{b}^{c}$
Từ đó ta có:
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{\log _{c}^{a}}{\left( c-{{a}^{x}} \right)dx}=\dfrac{3}{4}\int\limits_{0}^{\log _{b}^{c}}{\left( c-{{b}^{x}} \right)dx}$
$\Leftrightarrow c\log _{a}^{c}-\left( \dfrac{{{a}^{\log _{a}^{c}}}}{\ln a}-\dfrac{1}{\ln a} \right)=\dfrac{3}{4}\left( c\log _{b}^{c}-\left( \dfrac{{{b}^{\log _{b}^{c}}}}{\ln b}-\dfrac{1}{\ln b} \right) \right)$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{\ln a}=\dfrac{3}{4}.\dfrac{1}{\ln b}\Leftrightarrow 4.\ln b=3\ln a\Leftrightarrow {{b}^{4}}={{a}^{3}}$.
Đáp án D.