Google
Câu hỏi: Cho hai hàm số $y={{2}^{x}}$ và $y={{\log }_{2}}x$ lần lượt có đồ thị $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right).$ Gọi $A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right),B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right)$ là hai điểm lần lượt thuộc $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$ sao cho tam giác $IAB$ vuông cân tại $I,$ trong đó $I\left( -1;-1 \right).$ Giá trị của $P=\dfrac{{{x}_{A}}+{{y}_{A}}}{{{x}_{B}}+{{y}_{B}}}$ bằng
A. 1
B. $-2.$
C. 3
D. $-\dfrac{1}{2}.$
Ta có đồ thị hai hàm số $y={{2}^{x}}$ và $y={{\log }_{2}}x$ có đồ thị đối xứng với nhau qua đường thẳng $d:y=x$ và $I\in d.$
Gọi $M$ là trung điểm của $AB,$ suy ra: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{A}}+{{x}_{B}}=2{{x}_{M}} \\
& {{y}_{A}}+{{y}_{B}}=2{{y}_{M}}\Rightarrow P=\dfrac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}=\dfrac{{{x}_{M}}}{{{y}_{M}}}. \\
\end{aligned} \right.$
Theo giả thiết tam giác $IAB$ vuông cân tại $I$ nên trung điểm $M$ của $AB$ thuộc đường thẳng $d,$ suy ra ${{y}_{M}}={{x}_{M}}.$ Vậy $P=\dfrac{{{x}_{M}}}{{{y}_{M}}}=1.$
A. 1
B. $-2.$
C. 3
D. $-\dfrac{1}{2}.$
Ta có đồ thị hai hàm số $y={{2}^{x}}$ và $y={{\log }_{2}}x$ có đồ thị đối xứng với nhau qua đường thẳng $d:y=x$ và $I\in d.$
Gọi $M$ là trung điểm của $AB,$ suy ra: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{A}}+{{x}_{B}}=2{{x}_{M}} \\
& {{y}_{A}}+{{y}_{B}}=2{{y}_{M}}\Rightarrow P=\dfrac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}=\dfrac{{{x}_{M}}}{{{y}_{M}}}. \\
\end{aligned} \right.$
Theo giả thiết tam giác $IAB$ vuông cân tại $I$ nên trung điểm $M$ của $AB$ thuộc đường thẳng $d,$ suy ra ${{y}_{M}}={{x}_{M}}.$ Vậy $P=\dfrac{{{x}_{M}}}{{{y}_{M}}}=1.$
Đáp án A.