Cho hai hàm số $f(x)$ và $g(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng...

Dựa vào đồ thị ta thấy hàm $y=f(x)$ nghịch biến trên khoảng từ $\left( 1;3 \right)$.
Xét hàm số $y=f(2x-1)\Rightarrow y'=2f'(2x-1)$.
Hàm số nghịch biến khi $y'<0\Leftrightarrow 1<2x-1<3\Leftrightarrow 1<x<2$.
Xét hàm số $y=g\left( a{{x}^{3}}+b \right)\Rightarrow y'=3a{{x}^{2}}.g'(a{{x}^{3}}+b)$.
Ta có xét trên $(1;2)$ thì $y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}=0\ (l) \\
& g'(a{{x}^{3}}+b)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a{{x}^{3}}+b=0 \\
& a{{x}^{3}}+b=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{3}}=\dfrac{-b}{a} \\
& {{x}^{3}}=\dfrac{2-b}{a} \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có: $\left[ \begin{aligned}
& x=\sqrt[3]{\dfrac{-b}{a}} \\
& x=\sqrt[3]{\dfrac{2-b}{a}} \\
\end{aligned} \right.$.
Nếu $a>0$ thì $y'<0$ khi $g'(a{{x}^{3}}+b)<0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a{{x}^{3}}+b<0 \\
& a{{x}^{3}}+b>2 \\
\end{aligned} \right.$ (không thỏa)
Nếu $a<0$ thì $g'(a{{x}^{3}}+b)>0\Leftrightarrow 0<a{{x}^{3}}+b<2$, tức là $\sqrt[3]{\dfrac{2-b}{a}}<x<\sqrt[3]{\dfrac{-b}{a}}$ do là $\sqrt[3]{\dfrac{2-b}{a}}<\sqrt[3]{\dfrac{-b}{a}}$.
Vậy để 2 hàm số $y=f\left( 2x-1 \right)$ và $y=g\left( a{{x}^{3}}+b \right)$ có chung khoảng nghịch biến thì
$\left\{ \begin{aligned}
& \sqrt[3]{\dfrac{2-b}{a}}=1 \\
& \sqrt[3]{\dfrac{-b}{a}}=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2-b=a \\
& -b=8a \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{-2}{7} \\
& b=\dfrac{16}{7} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow a+4b=\dfrac{62}{7}$.