Google
Câu hỏi: Cho hai hàm số $f(x)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+2x$ và $g(x)=m{{x}^{3}}+n{{x}^{2}}-x\ ;$ với $a,b,c,m,n\in \mathbb{R}$. Biết hàm số $y=f(x)-g(x)$ có 3 điểm cực trị là – 1, 2, 3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y={f}'(x)$ và $y={g}'(x)$ bằng
A. $\dfrac{71}{6}$.
B. $\dfrac{32}{3}$.
C. $\dfrac{16}{3}$.
D. $\dfrac{71}{12}$.
A. $\dfrac{71}{6}$.
B. $\dfrac{32}{3}$.
C. $\dfrac{16}{3}$.
D. $\dfrac{71}{12}$.
Xét hàm số $h\left( x \right)=f\left( x \right)-g\left( x \right)=a{{x}^{4}}+\left( b-m \right){{x}^{3}}+\left( c-n \right){{x}^{2}}+3x$
$\Rightarrow {h}'\left( x \right)=4a{{x}^{3}}+3\left( b-m \right){{x}^{2}}+2\left( c-n \right)x+3 \left( 1 \right)$.
Vì hàm số $h\left( x \right)$ có 3 điểm cực trị là – 1, 2, 3 nên phương trình ${h}'\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm phân biệt là – 1, 2, 3.
Suy ra ${h}'\left( x \right)$ có dạng ${h}'\left( x \right)=A\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right) \left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)$ ta có $x=0\Rightarrow {h}'\left( 0 \right)=3$.
Thế vào $\left( 2 \right)\Rightarrow {h}'\left( 0 \right)=A\left( 1 \right)\left( -2 \right)\left( -3 \right)=3$ $\Rightarrow A=\dfrac{1}{2}$ $\Rightarrow {h}'\left( x \right)=\dfrac{1}{2}\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)$.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ${f}'\left( x \right)$ và ${g}'\left( x \right)$ là
$S=\int\limits_{-1}^{3}{\left| {f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right) \right|} \text{d}x=\int\limits_{-1}^{3}{\left| {h}'\left( x \right) \right|} \text{d}x$ $=\dfrac{1}{2}\int\limits_{-1}^{3}{\left| \left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right) \right|} \text{d}x=\dfrac{71}{12}$.
$\Rightarrow {h}'\left( x \right)=4a{{x}^{3}}+3\left( b-m \right){{x}^{2}}+2\left( c-n \right)x+3 \left( 1 \right)$.
Vì hàm số $h\left( x \right)$ có 3 điểm cực trị là – 1, 2, 3 nên phương trình ${h}'\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm phân biệt là – 1, 2, 3.
Suy ra ${h}'\left( x \right)$ có dạng ${h}'\left( x \right)=A\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right) \left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)$ ta có $x=0\Rightarrow {h}'\left( 0 \right)=3$.
Thế vào $\left( 2 \right)\Rightarrow {h}'\left( 0 \right)=A\left( 1 \right)\left( -2 \right)\left( -3 \right)=3$ $\Rightarrow A=\dfrac{1}{2}$ $\Rightarrow {h}'\left( x \right)=\dfrac{1}{2}\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)$.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ${f}'\left( x \right)$ và ${g}'\left( x \right)$ là
$S=\int\limits_{-1}^{3}{\left| {f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right) \right|} \text{d}x=\int\limits_{-1}^{3}{\left| {h}'\left( x \right) \right|} \text{d}x$ $=\dfrac{1}{2}\int\limits_{-1}^{3}{\left| \left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right) \right|} \text{d}x=\dfrac{71}{12}$.
Đáp án D.