Google
Câu hỏi: Cho hai hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+2x$ và $g\left( x \right)=m{{x}^{3}}+n{{x}^{2}}-2x$ với $a, b, c, m, n\in \mathbb{R}$. Biết hàm số $y=f\left( x \right)-g\left( x \right)$ có ba điểm cực trị là $-2, -1, 3$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y={f}'\left( x \right)$ và ${g}'\left( x \right)$ bằng
A. $\dfrac{131}{4}.$
B. $\dfrac{131}{6}.$
C. $\dfrac{125}{12}.$
D. $\dfrac{125}{6}.$
A. $\dfrac{131}{4}.$
B. $\dfrac{131}{6}.$
C. $\dfrac{125}{12}.$
D. $\dfrac{125}{6}.$
Do hàm số $y=f\left( x \right)-g\left( x \right)$ có ba điểm cực trị là $-2, -1, 3$ nên ta có:
${f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right)=4a\left( x+2 \right)\left( x+1 \right)\left( x-3 \right)$
Mà ${f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right)=4a{{x}^{3}}+\left( 3b-3m \right){{x}^{2}}+\left( 2c-2n \right)x+4$.
Đồng nhất hệ số, ta được: $-24a=4\Leftrightarrow a=\dfrac{-1}{6}\Rightarrow {f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right)=\dfrac{-2}{3}\left( x+2 \right)\left( x+1 \right)\left( x-3 \right)$.
Vậy: $S=\int\limits_{-2}^{3}{\left| {f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right) \right|\text{d}x}=\dfrac{2}{3}\int\limits_{-2}^{3}{\left| \left( x+2 \right)\left( x+1 \right)\left( x-3 \right) \right|\text{d}x}=\dfrac{131}{6}$.
${f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right)=4a\left( x+2 \right)\left( x+1 \right)\left( x-3 \right)$
Mà ${f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right)=4a{{x}^{3}}+\left( 3b-3m \right){{x}^{2}}+\left( 2c-2n \right)x+4$.
Đồng nhất hệ số, ta được: $-24a=4\Leftrightarrow a=\dfrac{-1}{6}\Rightarrow {f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right)=\dfrac{-2}{3}\left( x+2 \right)\left( x+1 \right)\left( x-3 \right)$.
Vậy: $S=\int\limits_{-2}^{3}{\left| {f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right) \right|\text{d}x}=\dfrac{2}{3}\int\limits_{-2}^{3}{\left| \left( x+2 \right)\left( x+1 \right)\left( x-3 \right) \right|\text{d}x}=\dfrac{131}{6}$.
Đáp án B.