Google
Câu hỏi: Cho hai hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx-\dfrac{1}{2}$ và $g\left( x \right)=d{{x}^{2}}+ex+1$ $\left( a,b,c,d,e\in \mathbb{R} \right)$. Biết rằng đồ thị của hàm số $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$ cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là $-3$ ; $-1$ ; $1$ (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng
A. $\dfrac{9}{2}$.
B. $8$.
C. $4$.
D. $5$.
Cách 1:
Diện tích hình phẳng cần tìm là: $S=\int\limits_{-3}^{-1}{\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]\text{d}x}+\int\limits_{-1}^{1}{\left[ g\left( x \right)-f\left( x \right) \right]\text{d}x}$
$=\int\limits_{-3}^{-1}{\left[ a{{x}^{3}}+\left( b-d \right){{x}^{2}}+\left( c-e \right)x-\dfrac{3}{2} \right]\text{d}x}-\int\limits_{-1}^{1}{\left[ a{{x}^{3}}+\left( b-d \right){{x}^{2}}+\left( c-e \right)x-\dfrac{3}{2} \right]\text{d}x}$.
Trong đó phương trình $a{{x}^{3}}+\left( b-d \right){{x}^{2}}+\left( c-e \right)x-\dfrac{3}{2}=0$ $\left( * \right)$ là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$.
Phương trình $\left( * \right)$ có nghiệm $-3$ ; $-1$ ; $1$ nên
$\left\{ \begin{aligned}
& -27a+9\left( b-d \right)-3\left( c-e \right)-\dfrac{3}{2}=0 \\
& -a+\left( b-d \right)-\left( c-e \right)-\dfrac{3}{2}=0 \\
& a+\left( b-d \right)+\left( c-e \right)-\dfrac{3}{2}=0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -27a+9\left( b-d \right)-3\left( c-e \right)=\dfrac{3}{2} \\
& -a+\left( b-d \right)-\left( c-e \right)=\dfrac{3}{2} \\
& a+\left( b-d \right)+\left( c-e \right)=\dfrac{3}{2} \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{1}{2} \\
& \left( b-d \right)=\dfrac{3}{2} \\
& \left( c-e \right)=-\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy $S=\int\limits_{-3}^{-1}{\left[ \dfrac{1}{2}{{x}^{3}}+\dfrac{3}{2}{{x}^{2}}-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{2} \right]\text{d}x}-\int\limits_{-1}^{1}{\left[ \dfrac{1}{2}{{x}^{3}}+\dfrac{3}{2}{{x}^{2}}-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{2} \right]\text{d}x}$ $=2-\left( -2 \right)=4$.
Cách 2:
Phương trình hoành độ giao điểm của $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ là: $a\left( x+3 \right)\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)=0$.
Dựa vào các hệ số tự do suy ra: $-3a=-\dfrac{1}{2}-1\Rightarrow a=\dfrac{1}{2}$.
Từ đó suy ra: $f\left( x \right)-g\left( x \right)=\dfrac{1}{2}\left( x+3 \right)\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)$.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai hàm số $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ là:
$S=\int\limits_{-3}^{-1}{\dfrac{1}{2}\left( x+3 \right)\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)dx-\int\limits_{-1}^{1}{\dfrac{1}{2}\left( x+3 \right)\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)dx=2-\left( -2 \right)=4}}$.
A. $\dfrac{9}{2}$.
B. $8$.
C. $4$.
D. $5$.
Cách 1:
Diện tích hình phẳng cần tìm là: $S=\int\limits_{-3}^{-1}{\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]\text{d}x}+\int\limits_{-1}^{1}{\left[ g\left( x \right)-f\left( x \right) \right]\text{d}x}$
$=\int\limits_{-3}^{-1}{\left[ a{{x}^{3}}+\left( b-d \right){{x}^{2}}+\left( c-e \right)x-\dfrac{3}{2} \right]\text{d}x}-\int\limits_{-1}^{1}{\left[ a{{x}^{3}}+\left( b-d \right){{x}^{2}}+\left( c-e \right)x-\dfrac{3}{2} \right]\text{d}x}$.
Trong đó phương trình $a{{x}^{3}}+\left( b-d \right){{x}^{2}}+\left( c-e \right)x-\dfrac{3}{2}=0$ $\left( * \right)$ là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$.
Phương trình $\left( * \right)$ có nghiệm $-3$ ; $-1$ ; $1$ nên
$\left\{ \begin{aligned}
& -27a+9\left( b-d \right)-3\left( c-e \right)-\dfrac{3}{2}=0 \\
& -a+\left( b-d \right)-\left( c-e \right)-\dfrac{3}{2}=0 \\
& a+\left( b-d \right)+\left( c-e \right)-\dfrac{3}{2}=0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -27a+9\left( b-d \right)-3\left( c-e \right)=\dfrac{3}{2} \\
& -a+\left( b-d \right)-\left( c-e \right)=\dfrac{3}{2} \\
& a+\left( b-d \right)+\left( c-e \right)=\dfrac{3}{2} \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{1}{2} \\
& \left( b-d \right)=\dfrac{3}{2} \\
& \left( c-e \right)=-\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy $S=\int\limits_{-3}^{-1}{\left[ \dfrac{1}{2}{{x}^{3}}+\dfrac{3}{2}{{x}^{2}}-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{2} \right]\text{d}x}-\int\limits_{-1}^{1}{\left[ \dfrac{1}{2}{{x}^{3}}+\dfrac{3}{2}{{x}^{2}}-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{2} \right]\text{d}x}$ $=2-\left( -2 \right)=4$.
Cách 2:
Phương trình hoành độ giao điểm của $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ là: $a\left( x+3 \right)\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)=0$.
Dựa vào các hệ số tự do suy ra: $-3a=-\dfrac{1}{2}-1\Rightarrow a=\dfrac{1}{2}$.
Từ đó suy ra: $f\left( x \right)-g\left( x \right)=\dfrac{1}{2}\left( x+3 \right)\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)$.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai hàm số $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ là:
$S=\int\limits_{-3}^{-1}{\dfrac{1}{2}\left( x+3 \right)\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)dx-\int\limits_{-1}^{1}{\dfrac{1}{2}\left( x+3 \right)\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)dx=2-\left( -2 \right)=4}}$.
Đáp án C.