Google
Câu hỏi: Cho hai hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+x$ và $g\left( x \right)=m{{x}^{3}}+n{{x}^{2}}-2x$ với $a,b,c,m,n\in \mathbb{R}$. Biết hàm số $y=f\left( x \right)-g\left( x \right)$ có ba điểm cực trị là $-1,2,3$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y=f'\left( x \right)$ và $y={g}'\left( x \right)$ bằng
A. $\dfrac{32}{3}$.
B. $\dfrac{16}{3}$.
C. $\dfrac{71}{12}$.
D. $\dfrac{71}{6}$.
A. $\dfrac{32}{3}$.
B. $\dfrac{16}{3}$.
C. $\dfrac{71}{12}$.
D. $\dfrac{71}{6}$.
Vì hàm số $y=f\left( x \right)-g\left( x \right)$ có ba điểm cực trị là $-1,2,3$ nên hàm số ${y}'={f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right)=4a{{x}^{3}}+3\left( b-m \right){{x}^{2}}+2\left( c-n \right)x+3$ có ba nghiệm là $-1,2,3.$ Suy ra, tồn tại số thực $k$ để ${y}'=k\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)$.
Ta có ${f}'\left( 0 \right)=3$ nên $k=\dfrac{1}{2}.$ Do đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y={f}'\left( x \right)$ và $y={g}'\left( x \right)$ bằng: $\int\limits_{-1}^{3}{\left| {y}'\left( x \right) \right|\text{d}x=}\int\limits_{-1}^{3}{\left| \dfrac{1}{2}\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right) \right|\text{d}x=}\dfrac{71}{12}$.
Ta có ${f}'\left( 0 \right)=3$ nên $k=\dfrac{1}{2}.$ Do đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y={f}'\left( x \right)$ và $y={g}'\left( x \right)$ bằng: $\int\limits_{-1}^{3}{\left| {y}'\left( x \right) \right|\text{d}x=}\int\limits_{-1}^{3}{\left| \dfrac{1}{2}\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right) \right|\text{d}x=}\dfrac{71}{12}$.
Đáp án C.